Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что  ∠MKN = 90°.  (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A).

   Решение

Квадратная доска разделена сеткой горизонтальных и вертикальных прямых на n² клеток со стороной 1. При каком наибольшем n можно отметить n клеток так, чтобы каждый прямоугольник площади не менее n со сторонами, идущими по линиям сетки, содержал хотя бы одну отмеченную клетку?

   Решение

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 1032]      

Пусть K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD.
а) Докажите, что KM(BC + AD)/2, причем равенство достигается, только если BC| AD.
б) При фиксированных длинах сторон четырехугольника ABCD найдите максимальные значения длин отрезков KM и LN.

Прислать комментарий

Решение

В трапеции ABCD стороны BC и AD параллельны, M — точка пересечения биссектрис углов A и B, N — точка пересечения биссектрис углов C и D. Докажите, что 2MN = | AB + CD - BC - AD|.

Прислать комментарий

Решение

Даны непересекающиеся хорды AB и CD окружности. Постройте точку X окружности так, чтобы хорды AX и BX высекали на хорде CD отрезок EF, имеющий данную длину a.

Прислать комментарий

Решение

Постройте четырехугольник ABCD по четырем углам и длинам сторон AB = a и CD = b.

Прислать комментарий

Решение

а) Даны окружности S₁ и S₂, пересекающиеся в точках A и B. Проведите через точку A прямую l так, чтобы отрезок этой прямой, заключенный внутри окружностей S₁ и S₂, имел данную длину.
б) Впишите в данный треугольник ABC треугольник, равный данному треугольнику PQR.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 1032]