ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 138]      



Задача 60859

Темы:   [ Доказательство тождеств. Преобразования выражений ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Найдите первые 17 знаков в десятичной записи у чисел:
а) $ {\dfrac{1}{\sqrt1+\sqrt2}}$ + $ {\dfrac{1}{\sqrt2+\sqrt3}}$ +...+ $ {\dfrac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}}$;
б) $ {\dfrac{\sqrt2+\sqrt{3/2}}{\sqrt2+\sqrt{2+\sqrt3}}}$ + $ {\dfrac{\sqrt2-\sqrt{3/2}}{\sqrt2-\sqrt{2-\sqrt3}}}$;
в) $ \sqrt{\vert 40\sqrt2-57\vert}$ - $ \sqrt{40\sqrt2+57}$.

Прислать комментарий     Решение

Задача 107634

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

{a1, a2, ..., a20} — набор целых положительных чисел.
Строим новый набор чисел {b0, b1, b2, ...} по следующему правилу:
b0 — количество чисел исходного набора, которые больше 0,
b1 — количество чисел исходного набора, которые больше 1,
b2 — количество чисел исходного набора, которые больше 2,
и т.д., пока не пойдут нули. Докажите, что сумма всех чисел исходного набора равна сумме всех чисел нового набора.
Прислать комментарий     Решение


Задача 61432

Темы:   [ Числа Фибоначчи ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите тождество

$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$$\displaystyle {\dfrac{1}{F_{2^k}}}$ = 3 - $\displaystyle {\dfrac{F_{2^n-1}}{F_{2^n}}}$        (n $\displaystyle \geqslant$ 1).



Прислать комментарий     Решение

Задача 61233

Темы:   [ Обратные тригонометрические функции ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Найдите сумму:

arctg $\displaystyle {\dfrac{x}{1+1\cdot2x^2}}$ + arctg $\displaystyle {\dfrac{x}{1+2\cdot
3x^2}}$ +...+ arctg $\displaystyle {\dfrac{x}{1+n\cdot(n+1)x^2}}$    (x > 0).


Прислать комментарий     Решение

Задача 60709

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите, что число  1k + 2k + ... + 12k  делится на 13 для  k = 1, 2, ..., 11.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 138]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .