Каталог по темам

Задачи

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 140]

Задача 79401

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4-
Классы: 11

Дан многочлен P(x) степени n со старшим коэффициентом, равным 1. Известно, что если x – целое число, то P(x) – целое число, кратное p
(p – натуральное число). Доказать, что n! делится на p.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98038

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Ряды с неотрицательными членами	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Толпыго А.К.

Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями d₁, d₂, d₃, ... . Может ли случиться, что при этом сумма ¹/_d₁ + ¹/_d₂ + ... + ¹/_{d_k} не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
а) общее число прогрессий конечно;
б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).

Прислать комментарий

Решение

Задача 98319

Темы:	[	Произведения и факториалы	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Автор: Сендеров В.А.

Докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

Задача 61234

Темы:	[	Обратные тригонометрические функции	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Найдите сумму:

arctg $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_1\cdot a_2}}$ + arctg $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_2\cdot a_3}}$ +...+ arctg $\displaystyle {\dfrac{r}{1+a_n\cdot a_{n+1}}}$ ,

если числа a₁, a₂,..., a_{n + 1} образуют арифметическую прогрессию с разностью r (a₁ > 0, r > 0).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61503

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что бесконечная сумма

	0, 1
+	0, 01
+	0, 002
+	0, 0003
+	0, 00005
+	0, 000008
+	0, 0000013
	...

сходится к рациональному числу.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 140]