Каталог по темам

Задачи

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 140]

Задача 78761

Темы:	[	Деление с остатком	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Кушниренко А.Г.

Имеется натуральное число n > 1970. Возьмём остатки от деления числа 2ⁿ на 2, 3, 4, ..., n. Доказать, что сумма этих остатков больше 2n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105136

Темы:	[	Математическая логика (прочее)	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

В городе Удоеве выборы мэра проходят следующим образом. Если в очередном туре голосования никто из кандидатов не набрал больше половины голосов, то проводится следующий тур с участием всех кандидатов, кроме последнего по числу голосов. (Никогда два кандидата не набирают голосов поровну; если кандидат набрал больше половины голосов, то он становится мэром и выборы заканчиваются.) Каждый избиратель в каждом туре голосует за одного из кандидатов. Если это кандидат вышел в следующий тур, то избиратель снова голосует за него. Если же кандидат выбыл, то все его избиратели голосуют за одного и того же кандидата из числа оставшихся.
На очередных выборах баллотировалось 2002 кандидата. Мэром стал Остап Бендер, занявший в первом туре k-е место по числу голосов. Определите наибольшее возможное значение k, если Остап Бендер был избран
а) в 1002-м туре;
б) в 1001-м туре.

Прислать комментарий Решение

Задача 115407

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Полуинварианты	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Богданов И.И.

По кругу стоят 2009 целых неотрицательных чисел, не превышающих 100 . Разрешается прибавить по 1 к двум соседним числам, причем с любыми двумя соседними числами эту операцию можно проделать не более k раз. При каком наименьшем k все числа гарантированно можно сделать равными?

Прислать комментарий Решение

Задача 73590

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 6+
Классы: 8,9,10,11

Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше n цифр, разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во второе — c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа k £ n сумма k-х степеней всех чисел первого множества равна сумме k-х степеней всех чисел второго множества.

Прислать комментарий Решение

Задача 60304

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Докажите неравенство для натуральных n > 1:

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 140]