Каталог по темам

Задачи

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 138]

Задача 115407

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Полуинварианты	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10

Автор: Богданов И.И.

По кругу стоят 2009 целых неотрицательных чисел, не превышающих 100 . Разрешается прибавить по 1 к двум соседним числам, причем с любыми двумя соседними числами эту операцию можно проделать не более k раз. При каком наименьшем k все числа гарантированно можно сделать равными?

Прислать комментарий Решение

Задача 73590

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 6+
Классы: 8,9,10,11

Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше n цифр, разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во второе — c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа k £ n сумма k-х степеней всех чисел первого множества равна сумме k-х степеней всех чисел второго множества.

Прислать комментарий Решение

Задача 60304

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 2+
Классы: 8,9,10

Докажите неравенство для натуральных n > 1:

Прислать комментарий

Решение

Задача 60433

[Двоечники]

Темы:	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Комбинаторика (прочее)	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

В классе имеется a₁ учеников, получивших в течение года хотя бы одну двойку, a₂ учеников, получивших не менее двух двоек, ..., a_k учеников, получивших не менее k двоек. Сколько всего двоек в этом классе? (Предполагается, что ни у кого нет более k двоек.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 98272

Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Токарев С.И.

Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что их сумма равна их наименьшему общему кратному?
(Среди чисел могут быть равные.)

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 138]