Страница:
<< 19 20 21 22
23 24 25 >> [Всего задач: 141]
а) Разбейте отрезок [0, 1] на чёрные и белые отрезки
так, чтобы для любого многочлена p(x) степени не выше второй сумма приращений p(x) по всем чёрным отрезкам равнялась сумме приращений p(x) по всем белым интервалам.
(Приращением многочлена p по отрезку (a, b) называется число p(b) – p(a).)
б) Удастся ли проделать аналогичную операцию для всех многочленов степени не выше 1995?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
а) Докажите для всех n > 2 неравенство 
б) Найдите какие-нибудь такие натуральные числа a, b, c, что для всех n > 2 
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
Числа от 1 до 999999 разбиты на две группы: в первую отнесено каждое число, для
которого ближайшим к нему квадратом является квадрат нечётного числа, во вторую – числа, для которых ближайшими являются квадраты чётных чисел. В какой из групп сумма чисел больше?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Дана функция f(x), значение которой при любом целом x целое. Известно, что для любого простого числа p существует такой многочлен Qp(x) степени, не превышающей 2013, с целыми коэффициентами, что f(n) – Qp(n) делится на p при любом целом n. Верно ли, что существует такой многочлен g(x) с вещественными коэффициентами , что g(n) = f(n) для любого целого n?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Назовем усреднением последовательности
ak действительных чисел последовательность
a'k с общим членом
a'k=
.
Рассмотрим последовательности:
ak ,
a'k – ее усреднение,
a''k –
усреднение последовательности
a'k , и т.д. Если все эти последовательности состоят из целых
чисел, то будем говорить, что последовательность
ak – хорошая. Докажите, что если
последовательность
xk – хорошая, то последовательность
xk2 – тоже хорошая.
Страница:
<< 19 20 21 22
23 24 25 >> [Всего задач: 141]
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Последовательности
>>
Суммы числовых последовательностей и ряды разностей
