Фильтр
Выбрано 15 задач Убрать все задачи
Можно ли доску размером 5×5 заполнить доминошками размером 1×2?
Братья Петя и Вася решили снять смешной ролик и выложить его в интернет. Сначала они сняли, как каждый из них идёт из дома в школу — Вася шёл 8 минут, а Петя шёл 5 минут. Потом пришли домой и сели за компьютер монтировать видео: они запустили одновременно Васино видео с начала и Петино видео с конца (в обратном направлении); в момент, когда на обоих роликах братья оказались в одной и той же точке пути, они склеили Петино видео с Васиным. Получился ролик, на котором Вася идёт из дома в школу, а потом в какой-то момент вдруг превращается в Петю и идёт домой задом наперёд. А какой длительности получился ролик?
Разложите на простые множители числа 111, 1111, 11111, 111111, 1111111.
Илья всегда говорит правду, но когда ему задали дважды один и тот же вопрос, он дал на него разные ответы. Какой бы это мог быть вопрос?
В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что площади треугольников AOB и COD равны.
Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм.
Найдите значение дроби В*А*Р*Е*Н*Ь*Е / К*А*Р*Л*С*О*Н, где разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения.
Найти все равнобочные трапеции, которые разбиваются диагональю на два равнобедренных треугольника.
На плоскости дан угол, образованный двумя лучами a и b, и
некоторая точка M.
Провести через точку M прямую c так, чтобы треугольник, образованный прямыми a, b и c, имел периметр данной величины.
а) Дан осесимметричный выпуклый 101-угольник. Докажите, что ось симметрии проходит через одну из его вершин.
б) Что можно сказать в случае десятиугольника?
Обозначим через S сумму следующего ряда:
Преобразовав равенство (12.1 ), можно получить уравнение, из которого находится S:
| S = (1 - 1) + (1 - 1) +...= 0 + 0 +...= 0; |
| S = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) -...= 1 - 0 - 0 -...= 1. |
У каждого марсианина три руки. Могут ли семь марсиан взяться за руки?
Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.
Найдите геометрическое место точек M, лежащих
внутри правильного треугольника ABC, для которых
MA2 = MB2 + MC2.
Докажите, что для любого натурального n в десятичной записи чисел 2002n и 2002n + 2n одинаковое число цифр.
Существуют 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых нет ни одного простого числа (например, 1001! + 2, 1001! + 3, ...,
1001! + 1001).
А существуют ли 1000 последовательных натуральных чисел, среди которых ровно пять простых чисел?
Задачи Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 52]
Задача 67318 |
|
|
Дан многочлен степени $n \geqslant 1$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.
|
|
Решение |
Задача 111813 |
|
|
Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена x² – ax + b – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид m/n. Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n2/3.
|
|
|
Решение |
Задача 115404 |
|
|
Найдите все такие натуральные n, что при некоторых отличных от нуля действительных числах a, b, c, d многочлен (ax + b)1000 – (cx + d)1000 после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно n ненулевых коэффициентов.
|
|
|
Решение |
Задача 67434 |
|
|
Дан многочлен степени $n > 0$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что у этого многочлена не может быть никаких других коэффициентов, кроме $1$, $-1$ и $-2$.
|
|
|
Решение |
Задача 98355 |
|
Пусть 1 + x + x² + ... + xn–1 = F(x)G(x), где F и G – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы (n > 1).
Докажите, что один из многочленов F, G представим в виде (1 + x + x² + ... + xk–1)T(x), где T(x) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1 (k > 1).
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 52]
