Версия для печати
Убрать все задачи

---

В окружность Ω вписан четырёхугольник ABCD, диагонали AC и BD которого перпендикулярны. На сторонах AB и CD во внешнюю сторону как на диаметрах построены дуги α и β. Рассмотрим две луночки, образованные окружностью Ω и дугами α и β (см. рис.). Докажите, что максимальные радиусы окружностей, вписанных в эти луночки, равны.

   Решение

---

Окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точках $P$ и $Q$. Пусть $O$ – точка пересечения общих внешних касательных к $\omega_1$ и $\omega_2$. Прямая, проходящая через точку $O$, пересекает $\omega_1$ и $\omega_2$ в точках $A$ и $B$ соответственно, так, что эти две точки лежат по одну сторону от $PQ$. Прямая $PA$ повторно пересекает $\omega_2$ в точке $C$, а прямая $QB$ повторно пересекает $\omega_1$ в точке $D$. Докажите, что $O$, $C$ и $D$ лежат на одной прямой.

   Решение

---

Докажите, что точки пересечения средних линий треугольника $ABC$ со сторонами треугольника, вершинами которого являются центры вневписанных окружностей, лежат на одной окружности.

   Решение

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 208]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 54179

Темы:   [ Трапеции (прочее) ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Средняя линия трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Одна из боковых сторон трапеции равна сумме оснований.
Докажите, что биссектрисы углов при этой стороне пересекаются на другой боковой стороне.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64800

Темы:   [ Разрезания (прочее) ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Дан треугольник с углами 30°, 70° и 80°. Разрежьте его отрезком на два треугольника так, чтобы биссектриса одного из этих треугольников и медиана второго, проведённые из концов разрезающего отрезка, были параллельны друг другу.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64979

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC  AA₀ и BB₀ – медианы, AA₁ и BB₁ – высоты. Описанные окружности треугольников CA₀B₀ и CA₁B₁ вторично пересекаются в точке M_c. Аналогично определяются точки M_a, M_b. Докажите, что точки M_a, M_b, M_c лежат на одной прямой, а прямые AM_a, BM_b, CM_c параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65006

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

На высоте BD треугольника ABC взята такая точка E, что  ∠AEC = 90°.  Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O₁O₂. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65684

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Пересекающиеся окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Внутри трапеции ABCD с основаниями AD и BC отмечены точки M и N так, что  AM = CN  и  BM = DN,  а четырёхугольники AMND и BMNC – вписанные. Докажите, что прямая MN параллельна основаниям трапеции.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 208]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями