Страница:
<< 63 64 65 66
67 68 69 >> [Всего задач: 370]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
В школе решили провести турнир по настольному теннису между математическими и гуманитарными классами. Команда гуманитарных классов состоит из n человек, команда математических – из m, причём n ≠ m. Так как стол для игры всего один, было решено играть следующим образом. Сначала какие-то два ученика из разных команд начинают играть между собой, а все остальные участники выстраиваются в одну общую очередь. После каждой игры человек, стоящий в очереди первым, заменяет за столом члена своей команды, который становится в конец очереди. Докажите, что рано или поздно каждый математик сыграет с каждым гуманитарием.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более чем одной из них.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 6,7,8,9,10,11
|
Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
В государстве n городов, и между каждыми двумя из них курсирует экспресс (в обе стороны). Для каждого экспресса цены билетов "туда" и "обратно" равны, а для разных экспрессов эти цены различны. Докажите, что путешественник может выбрать начальный город, выехать из него и проехать последовательно на n – 1 экспрессах, платя за проезд на каждом следующем меньше, чем за проезд на предыдущем. (Путешественник может попадать несколько раз в один и тот же город.)
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
На доске выписаны в ряд n положительных чисел a1, a2, ..., an. Вася хочет выписать под каждым числом ai число bi ≥ ai так, чтобы для каждых двух из чисел b1, b2, ..., bn отношение одного из них к другому было целым. Докажите, что Вася может выписать требуемые числа так, чтобы выполнялось неравенство b1b2...bn ≤ 2(n–1)/2a1a2...an.
Страница:
<< 63 64 65 66
67 68 69 >> [Всего задач: 370]
Фильтр
Решение 
