Версия для печати
Убрать все задачи

---

По кругу стоят 100 напёрстков. Под одним из них спрятана монетка. За один ход разрешается перевернуть четыре напёрстка и проверить, лежит ли под одним из них монетка. После этого их возвращают в исходное положение, а монетка перемещается под один из соседних с ней напёрстков. За какое наименьшее число ходов наверняка удастся обнаружить монетку?

   Решение

---

По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.

   Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 203]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116721

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть p – простое число. Набор из  p + 2  натуральных чисел (не обязательно различных) назовём интересным, если сумма любых p из них делится на каждое из двух оставшихся чисел. Найдите все интересные наборы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115372

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Уравнения в целых числах ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Для каждого натурального n обозначим через S_n сумму первых n простых чисел:  S₁ = 2,  S₂ = 2 + 3 = 5,  S₃ = 2 + 3 + 5 = 10,  ... .
Могут ли два подряд идущих члена последовательности (S_n) оказаться квадратами натуральных чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73618

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

Докажите, что числа 1, 2, ..., n ни при каком  n > 1  нельзя разбить на два множества так, чтобы произведение чисел одного из них равнялось произведению чисел другого.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111863

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

Дано конечное множество простых чисел P. Докажите, что найдётся такое натуральное число x , что оно представляется в виде  x = a^p + b^p  (с натуральными a, b) при всех   p ∈ P   и не представляется в таком виде для любого простого p ∉ P.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111044

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разложение на множители ] [ Малая теорема Ферма ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число. Докажите, что при некотором простом q все числа вида  n^p – p  не делятся на q.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 203]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями