Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 203]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115417

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Необычные конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Можно ли раскрасить натуральные числа в 2009 цветов так, чтобы каждый цвет встречался бесконечное число раз, и не нашлось тройки чисел, покрашенных в три различных цвета, таких, что произведение двух из них равно третьему?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116257

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Найдите все такие натуральные числа a и b, что  (a + b²)(b + a²)  является целой степенью двойки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116644

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Для натуральных чисел  a > b > 1  определим последовательность  x₁, x₂, ...  формулой   .   Найдите наименьшее d, при котором ни при каких a и b эта последовательность не содержит d последовательных членов, являющихся простыми числами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116721

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Пусть p – простое число. Набор из  p + 2  натуральных чисел (не обязательно различных) назовём интересным, если сумма любых p из них делится на каждое из двух оставшихся чисел. Найдите все интересные наборы.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115372

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Уравнения в целых числах ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Для каждого натурального n обозначим через S_n сумму первых n простых чисел:  S₁ = 2,  S₂ = 2 + 3 = 5,  S₃ = 2 + 3 + 5 = 10,  ... .
Могут ли два подряд идущих члена последовательности (S_n) оказаться квадратами натуральных чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 203]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями