Страница:
<< 178 179 180 181
182 183 184 >> [Всего задач: 1308]
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 9,10,11
|
На острове живут хамелеоны пяти цветов. Когда один хамелеон кусает другого, цвет укушенного хамелеона меняется по некоторому правилу, причём новый цвет зависит только от цвета укусившего и цвета укушенного. Известно, что $2023$ красных хамелеона могут договориться о последовательности укусов, после которой все они станут синими. При каком наименьшем $k$ можно гарантировать, что $k$ красных хамелеонов смогут договориться так, чтобы стать синими?
Например, правила могут быть такими: если красный хамелеон кусает зелёного, укушенный меняет цвет на синий; если зелёный кусает красного, укушенный остаётся красным, то есть «меняет цвет на красный»; если красный хамелеон кусает красного, укушенный меняет цвет на жёлтый, и так далее. (Конкретные правила смены цветов могут быть устроены иначе.)
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 7,8,9
|
Двое играют в «крестики–нолики» на бесконечном листе клетчатой бумаги. Начинающий ставит крестик в любую клетку. Каждым следующим своим ходом он должен ставить крестик в свободную клетку, соседнюю с одной из клеток, где уже стоит крестик; соседней с данной клеткой считаем любую, имеющую с ней общую сторону или общую вершину. Второй играющий каждым своим ходом может ставить сразу три нолика в любые три свободные клетки (не обязательно рядом друг с другом или с ранее поставленными ноликами). На рисунке изображена одна из позиций, которые могут возникнуть после третьего хода. Докажите, что как бы ни играл первый игрок, второй может его «запереть»: добиться того, чтобы первому было некуда поставить крестик. Исследуйте аналогичные игры, в которых второму разрешено за один ход ставить не три, а два или даже только один нолик. Каков здесь будет результат при правильной игре партнёров: удастся ли ноликам «запереть» крестики (и можно ли оценить сверху число ходов, которые могут «продержаться» крестики) или же крестики могут играть бесконечно долго?
Попробуйте изучить другие варианты этой игры: когда соседними с данной считаем только клетки, имеющие с ней общую сторону; когда плоскость разбита не на квадраты, а на правильные шестиугольники; когда первому разрешено ставить сразу p крестиков, а второму — q ноликов.
|
|
|
Сложность: 6+
Классы: 9,10,11
|
По заданному ненулевому
x значение
x8 можно найти за три арифметических действия:
x2 = x · x, x4 = x2 · x2, x8 = x4 · x4,
а
x15 — за пять действий: первые
три — те же самые, затем
x8 · x8 = x16 и
x16 : x = x16. Докажите, что
а) x16 можно найти за 12 действий (умножений и делений);
б) для любого натурального n возвести x в n-ю степень можно не более чем за 1 + 1,5 · log2n действий.
|
|
|
Сложность: 7-
Классы: 8,9,10,11
|
В нашем распоряжении имеются 3
2k неотличимых по виду монет, одна из которых фальшивая– она весит чуть легче настоящей. Кроме того, у нас есть трое двухчашечных весов. Известно, что двое весов исправны, а одни– сломаны (показываемый ими исход взвешивания никак не связан с весом положенных на них монет, т.е. может быть как верным, так и искаженным в любую сторону, причем на разных взвешиваниях– искаженным по-разному). При этом неизвестно, какие именно весы исправны, а какие сломаны. Как определить фальшивую монету за 3
k + 1 взвешиваний?
Двое играют в следующую игру. Один называет цифру, а другой вставляет её по своему усмотрению вместо одной из звёздочек в следующей разности:
**** – ****.
Затем первый называет ещё одну цифру, второй ставит её, первый опять называет цифру, и так играют до тех пор, когда все звёздочки будут заменены цифрами. Первый стремится к тому, чтобы разность получилась как можно больше, а второй — чтобы она стала как можно меньше. Докажите, что
а) второй может расставлять цифры так, чтобы полученная разность стала не больше 4000, независимо от того, какие цифры называл первый;
б) первый может называть цифры так, чтобы разность стала не меньше 4000, независимо от того, куда расставляет цифры второй.
Страница:
<< 178 179 180 181
182 183 184 >> [Всего задач: 1308]
Фильтр
