ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Медианы AM и BE треугольника ABC пересекаются в точке O. Точки O, M, E, C лежат на одной окружности. Найдите AB, если BE = AM = 3.

   Решение

Задачи

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 414]      



Задача 66887

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Петя и Вася по очереди пишут на доску дроби вида $1/n$, где $n$ — натуральное, начинает Петя. Петя за ход пишет только одну дробь, а Вася за первый ход — одну, за второй ход — две, и так каждым следующим ходом на одну дробь больше. Вася хочет, чтобы после какого-то хода сумма всех дробей на доске была натуральным числом. Сможет ли Петя помешать ему?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67155

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Шахматные доски и шахматные фигуры ]
[ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]
[ Теорема Пика ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Пусть n > 1 – целое число. В одной из клеток бесконечной белой клетчатой доски стоит ладья. Каждым ходом она сдвигается по доске ровно на n клеток по вертикали или по горизонтали, закрашивая пройденные n клеток в чёрный цвет. Сделав несколько таких ходов, не проходя никакую клетку дважды, ладья вернулась в исходную клетку. Чёрные клетки образуют замкнутый контур. Докажите, что число белых клеток внутри этого контура даёт при делении на n остаток 1.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67262

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
[ Ограниченность, монотонность ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Бесконечные возрастающие арифметические прогрессии $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ и $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ состоят из положительных чисел. Известно, что отношение $\frac{a_{k}}{b_{k}}$ целое при любом $k$. Верно ли, что это отношение не зависит от $k$?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67299

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

В ряд слева направо стоят $N$ коробок, занумерованных подряд числами $1$, $2, \ldots, N$. В некоторые коробки, стоящие подряд, положат по шарику, оставив остальные пустыми. Инструкция состоит из последовательно выполняемых команд вида «поменять местами содержимое коробок № $i$ и № $j$», где $i$ и $j$ – числа. Для каждого ли $N$ существует инструкция, в которой не больше $100N$ команд, со свойством: для любой начальной раскладки указанного вида можно будет, вычеркнув из инструкции некоторые команды, получить инструкцию, после выполнения которой все коробки с шариками будут левее коробок без шариков?
Прислать комментарий     Решение


Задача 73673

Темы:   [ Сочетания и размещения ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Формула включения-исключения ]
[ Производная и кратные корни ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

m и n – натуральные числа,  m < n.  Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 414]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .