Страница:
<< 40 41 42 43
44 45 46 >> [Всего задач: 414]
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Петя и Вася по очереди пишут на доску дроби вида $1/n$, где $n$ — натуральное, начинает Петя. Петя за ход пишет только одну дробь, а Вася за первый ход — одну, за второй ход — две, и так каждым следующим ходом на одну дробь больше. Вася хочет, чтобы после какого-то хода сумма всех дробей на доске была натуральным числом. Сможет ли Петя помешать ему?
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Пусть n > 1 – целое число. В одной из клеток бесконечной белой клетчатой доски стоит ладья. Каждым ходом она сдвигается по доске ровно на n клеток по вертикали или по горизонтали, закрашивая пройденные n клеток в чёрный цвет. Сделав несколько таких ходов, не проходя никакую клетку дважды, ладья вернулась в исходную клетку. Чёрные клетки образуют замкнутый контур. Докажите, что число белых клеток внутри этого контура даёт при делении на n остаток 1.
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
Бесконечные возрастающие арифметические прогрессии $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ и $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ состоят из положительных чисел. Известно, что отношение $\frac{a_{k}}{b_{k}}$ целое при любом $k$. Верно ли, что это отношение не зависит от $k$?
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
В ряд слева направо стоят $N$ коробок, занумерованных подряд числами $1$, $2, \ldots, N$.
В некоторые коробки, стоящие подряд, положат по шарику, оставив остальные пустыми.
Инструкция состоит из последовательно выполняемых команд вида «поменять местами содержимое коробок № $i$ и № $j$», где $i$ и $j$ – числа. Для каждого ли $N$ существует инструкция, в которой не больше $100N$ команд, со свойством: для любой начальной раскладки указанного вида можно будет, вычеркнув из инструкции некоторые команды, получить инструкцию, после выполнения которой все коробки с шариками будут левее коробок без шариков?
|
|
Сложность: 5 Классы: 9,10,11
|
m и n – натуральные числа, m < n. Докажите, что
Страница:
<< 40 41 42 43
44 45 46 >> [Всего задач: 414]