Версия для печати
Убрать все задачи

---

За круглым столом сидят 13 богатырей из k городов, где  1 < k < 13.  Каждый богатырь держит в руке золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков тоже k. Князь повелел каждому богатырю передать свой кубок соседу справа и повторять это до тех пор, пока какие-нибудь два богатыря из одного города оба не получат золотые кубки. Доказать, что желание князя всегда будет исполнено.

   Решение

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 203]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64378

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Простые числа и их свойства ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7

Мальвина попросила Буратино выписать все девятизначные числа, составленные из различных цифр. Буратино забыл, как пишется цифра 7, поэтому записал только те девятизначные числа, в которых этой цифры нет. Затем Мальвина предложила ему вычеркнуть из каждого числа по шесть цифр так, чтобы оставшееся трёхзначное число было простым. Буратино тут же заявил, что это возможно не для всех записанных чисел. Прав ли он?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64781

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Простые числа и их свойства ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Натуральное число n назовём хорошим, если каждый его натуральный делитель, увеличенный на 1, является делителем числа  n + 1.
Найдите все хорошие натуральные числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65076

Темы:   [ Средние величины ] [ Простые числа и их свойства ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Занумеруем все простые числа в порядке возрастания:  p₁ = 2,  p₂ = 3,  ... .
Может ли среднее арифметическое     при каком-нибудь  n ≥ 2  быть простым числом?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65112

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр – простое число.
Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65217

Темы:   [ Деление с остатком ] [ Простые числа и их свойства ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Известно, что остаток от деления некоторого простого числа на 60 равен составному числу. Какому?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 203]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями