Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Многочлены
>>
Специальные многочлены
>>
Многочлены Чебышева
Фильтр
Выбрано 8 задач Убрать все задачи
Рассматривается последовательность 1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, 1/7, ... Существует ли арифметическая прогрессия
а) длины 5;
б) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности?
Каждая из двух равных окружностей ω1 и ω2 проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в ω1, а прямые AC, BC касаются ω2.
Докажите, что cos∠A + cos∠B = 1.
Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.
Даны две концентрические окружности S1 и S2. С помощью циркуля и линейки проведите прямую, на которой эти окружности высекают три равных отрезка.
Центр круга – точка с декартовыми координатами (a, b). Известно, что начало координат лежит внутри круга. Обозначим через S+ общую площадь частей круга, состоящих из точек, обе координаты которых имеют одинаковый знак; а через S– – площадь частей, состоящих из точек с координатами разных знаков. Найдите величину S+ – S–.
Пять отрезков провели (не отрывая карандаша от бумаги) так, что получилась пятиугольная звезда, разделённая проведёнными отрезками на пять треугольников и пятиугольник. Оказалось, что все пять треугольников равны. Обязательно ли пятиугольник правильный?
Турнир Городов проводится раз в год. Сейчас год проведения осеннего тура делится на номер турнира: 2021:43 = 47. Сколько ещё раз человечество сможет наблюдать это удивительное явление?
Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого
является число +
.
Задачи Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]
Задача 61100 |
|
|
Проверьте, что многочлены Чебышёва Tn(x) и Un(x) (см. задачу
61099)
удовлетворяют начальным условиям
T0(x) = 1, T1(x) = x; U0(x) = 1, U1(x) = 2x, и рекуррентным формулам Tn+1(x) = 2xTn(x) – Tn–1(x), Un+1(x) = 2xUn(x) – Un–1(x).
|
|
Решение |
Задача 61101 |
|
|
Докажите, что у многочлена 2Tn(x/2) старший коэффициент равен единице, а все остальные коэффициенты – целые числа.
Здесь Tn – многочлен Чебышёва, смотри задачу
61099.
|
|
|
Решение |
Задача 61106 |
|
|
Последовательность многочленов P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = x² – 1, ... задается условием
Pn+1(x) = xPn(x) – Pn–1(x).
Докажите, что уравнение P100(x) = 0 имеет 100 различных действительных корней на отрезке [–2, 2]. Что это за корни?
|
|
|
Решение |
Задача 107816 |
|
|
Найдите какой-нибудь многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого
является число +
.
|
|
Решение |
Задача 61109 |
|
|
При подстановке в многочлены Чебышёва (см. задачу 61099) числа x = cos α получаются значения
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]
