Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть $H$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$, а $M$ и $N$ – середины $BC$ и $AH$ соответственно. Перпендикуляр из $N$ к прямой $MH$ пересекает $BC$ в точке $A'$. Точки $B'$ и $C'$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A'$, $B'$, $C'$ лежат на одной прямой.

   Решение

---

Окружность радиуса r вписана в угол, равный α. Другая окружность радиуса R касается одной стороны угла в той же точке, что и первая, пересекая вторую сторону угла в точках A и B. Найдите AB.

   Решение

---

Доказать неравенство  abc² + bca² + cab² ≤ a⁴ + b⁴ + c⁴.

   Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 200]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109016

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Дано четыре положительных числа a, p, c, k, произведение которых равно 1. Доказать, что  a² + p² + c² + k² + ap + ac + pc + ak + pk + ck ≥ 10.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109042

Тема:   [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Доказать неравенство  abc² + bca² + cab² ≤ a⁴ + b⁴ + c⁴.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109871

Тема:   [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что для любых положительных чисел x и y справедливо неравенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109886

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Докажите, что если a, b, c – положительные числа и  ab + bc + ca > a + b + c,  то  a + b + c > 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111259

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Произведение положительных чисел х, у и z равно 1. Докажите, что  (2 + х)(2 + у)(2 + z) ≥ 27.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 200]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями