Каталог по темам

Задачи

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 352]

Задача 67113

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Марданов А.

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Пусть $P$ – точка пересечения его диагоналей, а точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность $OPM$ вторично пересекает отрезки $AP$ и $BP$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно, а окружность $OPN$ вторично пересекает отрезки $CP$ и $DP$ в точках $C_1$ и $D_1$ соответственно. Докажите, что площади четырёхугольников $AA_1B_1B$ и $CC_1D_1D$ равны.

Прислать комментарий Решение

Задача 37006

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Теорема о трех перпендикулярах	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	ГМТ - окружность или дуга окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Шарыгин И.Ф.

В тетраэдре DABC ∠ACB = ∠ADB, ребро СD перпендикулярно плоскости АВС. В треугольнике АВС дана высота h, проведённая к стороне АВ, и расстояние d от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите CD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 53643

Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Биссектриса угла	]
	[	Углы между биссектрисами	]
	[	Равные треугольники. Признаки равенства (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Пусть AE и CD – биссектрисы треугольника ABC. Докажите, что если ∠BDE : ∠EDC = ∠BED : ∠DEA, то треугольник ABC — равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111708

Темы:	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Равные треугольники. Признаки равенства (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Треугольник можно разрезать на три равных треугольника. Докажите, что один из его углов равен 60°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109531

Темы:	[	Сфера, вписанная в многогранный угол	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Четырехугольная пирамида	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Соловьев И.

Точка O – основание высоты четырёхугольной пирамиды. Сфера с центром O касается всех боковых граней пирамиды. Точки A, B, C и D взяты последовательно по одной на боковых ребрах пирамиды так, что отрезки AB, BC и CD проходят через три точки касания сферы с гранями.
Докажите, что отрезок AD проходит через четвёртую точку касания.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 352]