ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.

   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



Задача 73808

Темы:   [ Монотонность, ограниченность ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Попов В. А.

На отрезке [0; 1] задана функция f. Эта функция во всех точках неотрицательна, f(1) = 1, наконец, для любых двух неотрицательных чисел x1 и x2, сумма которых не превосходит 1, величина f (x1 + x2) не превосходит суммы величин f(x1) и f(x2).

а) Докажите для любого числа x отрезка [0; 1] неравенство f(x2) ≤ 2x.

б) Для любого ли числа х отрезка [0; 1] должно быть верно неравенство f(x2) ≤ 1,9x?
Прислать комментарий     Решение


Задача 64548

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 3+

Найдите наибольшее значение выражения  a + b + c + d – ab – bc – cd – da,  если каждое из чисел a, b, c и d принадлежит отрезку  [0, 1].

Прислать комментарий     Решение

Задача 109617

Темы:   [ Задачи на движение ]
[ Монотонность, ограниченность ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Несколько путников движутся с постоянными скоростями по прямолинейной дороге. Известно, что в течение некоторого периода времени сумма попарных расстояний между ними монотонно уменьшалась. Докажите, что в течение того же периода сумма расстояний от некоторого путника до всех остальных тоже монотонно уменьшалась.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109440

Темы:   [ Смешанные уравнения и системы уравнений ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Решите уравнение:  (x³ – 2)(2sin x – 1) + (2x³ – 4) sin x = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111264

Темы:   [ Непрерывность и компактность ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Непрерывная функция f(x) такова, что для всех действительных x выполняется неравенство: f(x2)-(f(x))2 . Верно ли, что функция f(x) обязательно имеет точки экстремума?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .