Версия для печати
Убрать все задачи

---

Знайка пишет на доске 10 чисел, потом Незнайка дописывает ещё 10 чисел, причём все 20 чисел должны быть положительными и различными. Мог ли Знайка написать такие числа, чтобы потом гарантированно суметь составить 10 квадратных трёхчленов вида  x² + px + q,  среди коэффициентов p и q которых встречались бы все записанные числа, и (действительные) корни этих трёхчленов принимали ровно 11 различных значений?

   Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 80]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110070

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Петя и Коля играют в следующую игру: они по очереди изменяют один из коэффициентов a или b квадратного трёхчлена x² + ax + b: Петя на 1, Коля – на 1 или на 3. Коля выигрывает, если после хода одного из игроков получается трёхчлен, имеющий целые корни. Верно ли, что Коля может выиграть при любых начальных целых коэффициентах a и b независимо от игры Пети?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111040

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Уравнения в целых числах ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные  (a, b),  что a² делится на натуральное число  2ab² – b³ + 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109630

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Знайка пишет на доске 10 чисел, потом Незнайка дописывает ещё 10 чисел, причём все 20 чисел должны быть положительными и различными. Мог ли Знайка написать такие числа, чтобы потом гарантированно суметь составить 10 квадратных трёхчленов вида  x² + px + q,  среди коэффициентов p и q которых встречались бы все записанные числа, и (действительные) корни этих трёхчленов принимали ровно 11 различных значений?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109835

Темы:   [ Задачи с ограничениями ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Сколькими способами числа 2⁰, 2¹, 2², ..., 2²⁰⁰⁵ можно разбить на два непустых множества A и B так, чтобы уравнение  x² – S(A)x + S(B) = 0,  где S(M) – сумма чисел множества M, имело целый корень?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60930

Темы:   [ Методы решения задач с параметром ] [ Квадратные уравнения. Формула корней ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

При каких значениях параметра a один из корней уравнения   x² – ¹⁵/₄ x + a³ = 0  является квадратом другого?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 80]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями