ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами. При этом из каждого города выходит хотя бы три дороги.
Докажите, что существует циклический маршрут, длина которого не делится на 3.

   Решение

Задачи

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 223]      



Задача 109615

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

В клетках таблицы 2000×2000 записаны числа 1 и –1. Известно, что сумма всех чисел в таблице неотрицательна. Докажите, что найдутся 1000 строк и 1000 столбцов таблицы, для которых сумма чисел, записанных в клетках, находящихся на их пересечении, не меньше 1000.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109726

Темы:   [ Степень вершины ]
[ Обход графов ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами. При этом из каждого города выходит хотя бы три дороги.
Докажите, что существует циклический маршрут, длина которого не делится на 3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110776

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

a и b – натуральные числа. Покажите, что если  4ab – 1  делит  (4a² – 1)²,  то  a = b.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116676

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Рациональные числа x, y и z таковы, что все числа  x + y² + z²,  x² + y + z²  и  x² + y² + z  целые. Докажите, что число 2x целое.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61350

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Четность и нечетность ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Системы линейных уравнений ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Имеются 13 гирь. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть на каждую, что наступит равновесие.
Докажите, что все гири имеют одну и ту же массу, если известно, что:
  а) масса каждой гири равна целому числу граммов;
  б) масса каждой гири равна рациональному числу граммов;
  в) масса каждой гири может быть равна любому действительному (неотрицательному) числу.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 223]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .