Версия для печати
Убрать все задачи

---

Петя и Коля играют в следующую игру: они по очереди изменяют один из коэффициентов a или b квадратного трёхчлена x² + ax + b: Петя на 1, Коля – на 1 или на 3. Коля выигрывает, если после хода одного из игроков получается трёхчлен, имеющий целые корни. Верно ли, что Коля может выиграть при любых начальных целых коэффициентах a и b независимо от игры Пети?

   Решение

---

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, T – центр описанной окружности треугольника AOC, M – середина AC. На сторонах AB и BC выбраны точки D и E соответственно так, что  ∠BDM = ∠BEM = ∠B.  Докажите, что  BT ⊥ DE.

   Решение

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 240]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108077

Темы:   [ Углы между биссектрисами ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Частные случаи треугольников (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Точка P лежит внутри равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC ),  причём  ∠ABC = 80°,  ∠PAC = 40°,  ∠ACP = 30°.  Найдите угол BPC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109815

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, T – центр описанной окружности треугольника AOC, M – середина AC. На сторонах AB и BC выбраны точки D и E соответственно так, что  ∠BDM = ∠BEM = ∠B.  Докажите, что  BT ⊥ DE.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111677

Темы:   [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Пятиугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В равностороннем (неправильном) пятиугольнике ABCDE угол ABC вдвое больше угла DBE. Найдите величину угла ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110203

Темы:   [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках A₁ и C₁, а описанную окружность этого треугольника – в точках A₀ и C₀ соответственно. Прямые A₁C₁ и A₀C₀ пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52609

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Окружности (прочее) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Угловая величина дуги AB равна  α < 90°.  На продолжении радиуса OA отложен отрезок AC, равный хорде AB, и точка C соединена с B. Найдите угол ACB.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 240]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями