Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ – высоты остроугольного треугольника ABC, O_A, O_B, O_C – центры вписанных окружностей треугольников AB₁C₁, BC₁A₁, CA₁B₁ соответственно; T_A, T_B, T_C – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника T_AO_CT_BO_AT_CO_B равны.

   Решение

---

Проведено три семейства параллельных прямых, по 10 прямых в каждом. Какое наибольшее число треугольников они могут вырезать из плоскости?

   Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 101]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65515

Темы:   [ Взвешивания ] [ Четность и нечетность ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

В ожидании покупателей продавец арбузов поочерёдно взвесил 20 арбузов (массой 1 кг, 2 кг, 3 кг, ..., 20 кг), уравновешивая арбуз на одной чашке весов одной или двумя гирями на другой чашке (возможно, одинаковыми). При этом продавец записывал на бумажке, гири какой массы он использовал. Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться в его записях, если масса каждой гири – целое число килограммов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97920

Темы:   [ Степень вершины ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

На окружности имеется 21 точка.
Докажите, что среди дуг, имеющих концами эти точки, найдётся не меньше ста таких, угловая мера которых не превышает 120°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109703

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Шахматная раскраска ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Правильный треугольник разбит на правильные треугольники со стороной 1 линиями, параллельными его сторонам и делящими каждую сторону на n частей (на рисунке  n = 5).

Какое наибольшее число отрезков длины 1 с концами в вершинах этих треугольников можно отметить так, чтобы не нашлось треугольника, все стороны которого состоят из отмеченных отрезков?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61498

Темы:   [ Производящие функции ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Предположим, что у нас имеется 1000000 автобусных билетов с номерами от 000000 до 999999. Будем называть билет счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме трёх последних. Пусть N – количество счастливых билетов. Докажите равенства:
  а)  (1 + x + ... + x⁹)³(1 + x^–1 + ... + x^–9)³ = x²⁷ + ... + a₁x + N + a₁x + ... + x^–27;
  б)  (1 + x + ... + x⁹)⁶ = 1 + ... + Nx²⁷ + ... + x⁵⁴.
  в) Найдите число счастливых билетов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110065

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9,10

Проведено три семейства параллельных прямых, по 10 прямых в каждом. Какое наибольшее число треугольников они могут вырезать из плоскости?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 101]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями