Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 101]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98442

Темы:   [ Двоичная система счисления ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Для каждого целого неотрицательного числа i определим число M(i) следующим образом: запишем число i в двоичной форме; если число единиц в этой записи чётно, то M(i) = 0, а если нечётно – то 1 (первые члены этой последовательности: 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, ... ).
  а) Рассмотрим конечную последовательность  M(0), M(1), ... , M(1000).  Докажите, что число членов этой последовательности, равных своему правому соседу, не меньше 320.
  б) Рассмотрим конечную последовательность  M(0), M(1), ..., M(1000000).  Докажите, что число таких членов последовательности, что  M(i) = M(i + 7),  не меньше 450000.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115360

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a, такого, что a⁵ делится на b², число a² делится на b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109198

Темы:   [ Комбинаторика орбит ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Скажем, что колода из 52 карт сложена правильно, если каждая пара лежащих рядом карт совпадает по масти или достоинству, то же верно для верхней и нижней карты, и наверху лежит туз пик. Докажите, что число способов сложить колоду правильно
  а) делится на 12!;
  б) делится на 13!.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67320

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Подпоследовательности ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Кощей придумал для Ивана-дурака испытание. Он дал Ивану волшебную дудочку, на которой можно играть только две ноты – до и си. Для прохождения испытания Ивану нужно сыграть какую-нибудь мелодию из 300 нот на свой выбор. Но до того, как он начнёт играть, Кощей выбирает и объявляет запретными одну мелодию из пяти нот, одну – из шести нот, ..., одну – из 30 нот. Если в какой-то момент последние сыгранные ноты образуют одну из запретных мелодий, дудочка перестаёт звучать. Сможет ли Иван пройти испытание, какие бы мелодии Кощей ни объявил запретными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30344

Темы:   [ Правило произведения ] [ Сочетания и размещения ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 2 Классы: 6,7

На полке стоят пять книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 101]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями