Каталог по темам

Задачи

Страница: << 91 92 93 94 95 96 97 >> [Всего задач: 737]

Задача 111862

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Пете и Васе подарили одинаковые наборы из N гирь, в которых массы любых двух гирь различаются не более, чем в 1,25 раз. Пете удалось разделить все гири своего набора на 10 равных по массе групп, а Васе удалось разделить все гири своего набора на 11 равных по массе групп. Найдите наименьшее возможное значение N.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111910

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Инварианты	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

Двое играющих по очереди пишут – каждый на своей половине доски – по одному натуральному числу (повторения разрешаются) так, чтобы сумма всех чисел на доске не превосходила 10000. После того, как сумма всех чисел на доске становится равной 10000, игра заканчивается подсчетом суммы всех цифр на каждой половине. Выигрывает тот, на чьей половине сумма цифр меньше (при равных суммах – ничья). Может ли кто-нибудь из игроков выиграть, как бы ни играл противник?

Прислать комментарий

Решение

Задача 115395

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Перебор случаев	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Игровое поле представляет собой полоску 1× N . В начале игры на нескольких крайних левых полях стоит по одной белой шашке, на стольких же крайних правых полях — по одной чёрной шашке. Белые и Чёрные ходят по очереди, начинают Белые. Ход заключается в передвижении одной из своих шашек в направлении противника (Белые ходят направо, Чёрные — налево). Можно делать простой ход или бить шашки соперника. При простом ходе разрешается перемещать шашку на любое число клеток, но нельзя перепрыгивать ни через свои шашки, ни через чужие. Бьют шашки соперника по тем же правилам, что и в обычных шашках:
Шашка бьёт шашку соперника, стоящую на соседнем поле, если следующее за ним поле свободно. При этом своя шашка перемещается на это свободное поле, а побитая шашка соперника снимается с доски.
Бить обязательно: если есть возможность бить, делать вместо этого простой ход какой-либо шашкой нельзя.
Если шашка, побившая шашку соперника, может сразу побить следующую его шашку, она должна продолжать бить тем же ходом.
Кто — Белые или Чёрные — победят в этой игре вне зависимости от игры партнёра? Рассмотрите случаи:
а) У игроков по одной шашке, поле длиной N>2 клеток;
б) У игроков по две шашки, поле длиной N>4 клеток;
в) У игроков по три шашки, поле длиной N>6 клеток;
г) Дополнительное задание. Можно подумать, что численное преимущество решает исход игры. Придумайте и нарисуйте, однако, позицию, где у Белых меньше шашек, чем у Чёрных, и тем не менее, Белые начинают (с простого хода) и выигрывают.

Прислать комментарий Решение

Задача 116722

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Жуков Г.

Банк обслуживает миллион клиентов, список которых известен Остапу Бендеру. У каждого есть свой PIN-код из шести цифр, у разных клиентов коды разные. Остап Бендер за один ход может выбрать любого клиента, которого он еще не выбирал, и подсмотреть у него цифры кода на любых N позициях (у разных клиентов он может выбирать разные позиции). Остап хочет узнать код миллионера Корейко. При каком наименьшем N он гарантированно сможет это сделать?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116777

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Ивлев Ф.

На окружности отмечено 2n + 1 точек, делящих её на равные дуги (n ≥ 2). Двое по очереди стирают по одной точке. Если после хода игрока все треугольники с вершинами в ещё отмеченных точках – тупоугольные, он выигрывает, и игра заканчивается. Кто выиграет при правильной игре: начинающий игру или его противник?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 91 92 93 94 95 96 97 >> [Всего задач: 737]