Версия для печати
Убрать все задачи
Докажите, что при любом нечётном n число 2n! – 1 делится на n.
Решение
В стране 1001 город, каждые два города соединены дорогой с односторонним движением. Из каждого города выходит ровно 500 дорог, в каждый город входит ровно 500 дорог. От страны отделилась независимая республика, в которую вошли 668 городов. Докажите, что из каждого города этой республики можно доехать до любого другого ее города, не выезжая за пределы республики.
Решение
Дан остроугольный треугольник ABC. Прямая, параллельная BC, пересекает
стороны AB и AC в точках M и P соответственно. При каком расположении точек M
и P радиус
окружности, описанной около треугольника BMP, будет наименьшим?
Решение
Город Нью-Васюки имеет форму квадрата со стороной 5 км. Улицы делят его на кварталы, являющиеся квадратами со стороной 200 м. Какую наибольшую площадь можно обойти, пройдя по улицам Нью-Васюков 10 км и вернувшись в исходную точку?
Решение
Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A1, B1 и C1, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 равны и прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Решение
Определение. Последовательность чисел
a0,
a1,...,
an,..., которая удовлетворяет
с заданными
p и
q соотношению
|
an+2=pan+1+qan | (n=0,1,2,...) |
(11.2) |
называется
линейной рекуррентной (возвратной) последовательностью второго
порядка.
Уравнение
называется
характеристическим уравнением последовательности
(
a n).
Докажите, что если числа
a0,
a1 фиксированы, то все
остальные члены последовательности {
an} определяются
однозначно.
Решение
Внутри квадрата со стороной 1 расположены несколько кругов, сумма радиусов которых равна 0,51. Доказать, что найдется прямая, которая параллельна одной из сторон квадрата и пересекает, по крайней мере, 2 круга.
Решение
Из четырёх неравенств 2x > 70, x < 100, 4x > 25 и x > 5 два истинны и два ложны. Найдите значение x, если известно, что оно целое.
Решение
Фильтр
