Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что число способов расставить на шахматной доске максимальное число ферзей чётно.

Вниз   Решение


Саша выложил треугольник со стороной из нескольких спичек, разделённый на маленькие треугольники (см. рис.), а Петя – такой же треугольник, сторона которого на три спички больше. Петя считает, что для этого ему потребовалось на 111 спичек больше чем Саше, а Саша с ним не согласен. Кто из мальчиков прав?

ВверхВниз   Решение


Для натурального a обозначим через P(a) наибольший простой делитель числа  a² + 1.
Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел a, b, c, что  P(a) = P(b) = P(c).

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 187]      



Задача 109485

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Перебор случаев ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1?
Найдите все возможные значения этого произведения.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60556

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Системы счисления (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и представление числа n в p-ичной системе имеет вид:   n = akpk + ak–1pk–1 + ... + a1p1 + a0.
Найдите формулу, выражающую показатель αp, с которым это число p входит в каноническое разложение n!, через n, p, и коэффициенты ak.

Прислать комментарий     Решение

Задача 105168

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Разложение на множители ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Дано равенство  (am1 – 1)...(amn – 1) = (ak1 + 1)...(akl + 1),  где a, n, l и все показатели степени – натуральные числа, причём  a > 1.
Найдите все возможные значения числа a.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116652

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Для натурального a обозначим через P(a) наибольший простой делитель числа  a² + 1.
Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел a, b, c, что  P(a) = P(b) = P(c).

Прислать комментарий     Решение

Задача 115360

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a, такого, что a5 делится на b², число a² делится на b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 187]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .