Версия для печати
Убрать все задачи

---

Для натурального a обозначим через P(a) наибольший простой делитель числа  a² + 1.
Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел a, b, c, что  P(a) = P(b) = P(c).

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 187]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109485

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Перебор случаев ] [ Простые числа и их свойства ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Каким может быть произведение нескольких различных простых чисел, если оно кратно каждому из них, уменьшенному на 1?
Найдите все возможные значения этого произведения.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60556

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Произведения и факториалы ] [ Системы счисления (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и представление числа n в p-ичной системе имеет вид:   n = a_kp^k + a_k–1p^k–1 + ... + a₁p¹ + a₀.
Найдите формулу, выражающую показатель α_p, с которым это число p входит в каноническое разложение n!, через n, p, и коэффициенты a_k.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105168

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Дано равенство  (a^m₁ – 1)...(a^m_n – 1) = (a^k₁ + 1)...(a^k_l + 1),  где a, n, l и все показатели степени – натуральные числа, причём  a > 1.
Найдите все возможные значения числа a.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116652

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Доказательство от противного ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Для натурального a обозначим через P(a) наибольший простой делитель числа  a² + 1.
Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел a, b, c, что  P(a) = P(b) = P(c).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115360

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Натуральное число b назовём удачным, если для любого натурального a, такого, что a⁵ делится на b², число a² делится на b.
Найдите количество удачных натуральных чисел, меньших 2010.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 187]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями