На плоскости расположено n5 окружностей так, что любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все окружности имеют общую точку.

   Решение

На отрезке длиной 1 расположены попарно не пересекающиеся отрезки, сумма длин которых равна p. Обозначим эту систему отрезков A. Пусть B — дополнительная система отрезков (отрезки систем A и B не имеют общих внутренних точек и полностью покрывают данный отрезок). Докажите, что существует параллельный перенос T, для которого пересечение B и T(A) состоит из отрезков, сумма длин которых не меньше p(1 - p)/2.

   Решение

Два пирата, Билл и Джон, имея каждый по 74 золотые монеты, решили сыграть в такую игру: они по очереди будут выкладывать на стол монеты, за один ход – одну, две или три, а выиграет тот, кто положит на стол сотую по счёту монету. Начинает Билл. Кто может выиграть в такой игре, независимо от того, как будет действовать соперник?

   Решение

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде
  a)  x² + y²;   б)  x² + y² + z²  ; в)  x³ + y³ + z³.

   Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 366]      

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде
  a)  x² + y²;   б)  x² + y² + z²  ; в)  x³ + y³ + z³.

Прислать комментарий

Решение

Найти все прямоугольники с натуральными сторонами, у которых периметр равен площади.

Прислать комментарий

Решение

Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде  n² + p  (p – простое).

Прислать комментарий

Решение

Решить в простых числах уравнение  pqr = 7(p + q + r).

Прислать комментарий

Решение

Решить в натуральных числах уравнение  1 + x + x² + x³ = 2^y.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 366]