Детали полотна игрушечной железной дороги имеют форму четверти окружности радиуса R. Докажите, что последовательно присоединяя их концами так, чтобы они плавно переходили друг в друга, нельзя составить путь, у которого начало совпадает с концом, а первое и последнее звенья образуют тупик, изображенный на рис.

   Решение

В пространстве даны n точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре – в одной плоскости). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы  n – 3  точки в пространстве ни взять, найдётся плоскость из проведённых, не содержащая ни одной из этих  n – 3  точек.

   Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 127]      

В клетчатом квадрате 10×10 отмечены центры всех единичных квадратиков (всего 100 точек). Какое наименьшее число прямых, не параллельных сторонам квадрата,

нужно провести, чтобы вычеркнуть все отмеченные точки?

Прислать комментарий

Решение

У правильного 5000-угольника покрашено 2001 вершина.
Докажите, что найдутся три покрашенные вершины, лежащие в вершинах равнобедренного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

В кубе, ребро которого равно 13, выбрано 1956 точек. Можно ли в этот куб поместить кубик с ребром 1 так, чтобы внутри него не было ни одной выбранной точки?

Прислать комментарий

Решение

В пространстве даны n точек общего положения (никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре – в одной плоскости). Через каждые три из них проведена плоскость. Докажите, что какие бы  n – 3  точки в пространстве ни взять, найдётся плоскость из проведённых, не содержащая ни одной из этих  n – 3  точек.

Прислать комментарий

Решение

Среди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами правильного октаэдра.
Найдите отношение рёбер икосаэдров.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 127]