Версия для печати
Убрать все задачи

---

Изначально на стол положили 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом было ровно 43 карточки с нечётными числами. Затем каждую минуту проводилась следующая процедура. Для каждых трёх карточек, лежащих на столе, вычислялось произведение записанных на них чисел, все эти произведения складывались, и полученное число записывалось на новую карточку, которая добавлялась к лежащим на столе. Через год после начала процесса выяснилось, что на столе есть карточка с числом, кратным 2¹⁰⁰⁰⁰. Докажите, что число, кратное 2¹⁰⁰⁰⁰, было на одной из карточек уже через день после начала.

   Решение

---

На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев особой, если продолжение одного из них пересекает другое звено. Докажите, что число особых пар чётно.

   Решение

Страница: << 92 93 94 95 96 97 98 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 31070

Темы:   [ Степень вершины ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

В кружке у каждого члена имеется один друг и один враг. Доказать, что
  а) число членов чётно.
  б) кружок можно разделить на два нейтральных кружка.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31092

Темы:   [ Степень вершины ] [ Обход графов ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Можно ли начертить, не отрывая карандаша от бумаги (одним росчерком)
  а) квадрат с диагоналями?
  б) шестиугольник со всеми диагоналями?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 31093

Темы:   [ Степень вершины ] [ Обход графов ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Существует ли ломаная, пересекающая все рёбра картинки по одному разу?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34925

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Ломаные ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На плоскости дана несамопересекающаяся замкнутая ломаная, никакие три вершины которой не лежат на одной прямой. Назовём пару несоседних звеньев особой, если продолжение одного из них пересекает другое звено. Докажите, что число особых пар чётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35276

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Тождественные преобразования ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Известно, что число 2n для некоторого натурального n является суммой двух точных квадратов.
Докажите, что n также является суммой двух точных квадратов.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 92 93 94 95 96 97 98 >> [Всего задач: 632]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями