Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Струков С.

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BD и CE. Из вершин B и C на прямую ED опущены перпендикуляры BF и CG. Докажите, что EF = DG.

Вниз   Решение


Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны медианам данного треугольника.

ВверхВниз   Решение


Вписанная окружность треугольника A1A2A3 касается сторон A2A3, A3A1 и A1A2 в точках S1, S2 и S3 соответственно. Пусть O1, O2 и O3 – центры вписанных окружностей треугольников A1S2S3, A2S3S1 и A3S1S2 соответственно. Докажите, что прямые O1S1, O2S2 и O3S3 пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC угол A прямой, M – середина BC, AH – высота. Прямая, проходящая через точку M перпендикулярно AC, вторично пересекает описанную окружность треугольника AMC в точке P. Докажите, что отрезок BP делит отрезок AH пополам.

ВверхВниз   Решение


В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями  x ± y ± z = n  (при всех целых n). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка  (x0, y0, z0)  с рациональными координатами не лежит ни в одной проведённой плоскости. Докажите, что найдётся натуральное k, при котором точка  (kx0, ky0, kz0)  лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.

ВверхВниз   Решение


Точка К – середина гипотенузы АВ прямоугольного равнобедренного треугольника ABC. Точки L и М выбраны на катетах ВС и АС соответственно так, что  BL = СМ.  Докажите, что треугольник LMK – также прямоугольный равнобедренный.

ВверхВниз   Решение


Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник ABC  (∠ABC = 90°),  касается сторон AB, BC, AC в точках C1, A1, B1 соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке A2. A0 – центр окружности, описанной около треугольника A1A2B1; аналогично определяется точка C0. Найдите угол A0BC0.

ВверхВниз   Решение


В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы равны m и n. Найдите площадь квадрата.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 1358]      



Задача 54470

Темы:   [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Отношения площадей ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с прямым углом при вершине B вписан прямоугольник MNKB так, что две его стороны MB и KB лежат на катетах, а вершина N — на гипотенузе AC. В каком отношении точка N должна делить гипотенузу, чтобы площадь параллелограмма составляла 18% площади треугольника?

Прислать комментарий     Решение


Задача 54484

Темы:   [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что обратная величина квадрата высоты прямоугольного треугольника, проведённой к гипотенузе, равна сумме обратных величин квадратов катетов.

Прислать комментарий     Решение


Задача 54491

Темы:   [ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что одна из его сторон находится на гипотенузе. Боковые отрезки гипотенузы равны m и n. Найдите площадь квадрата.

Прислать комментарий     Решение


Задача 54501

Темы:   [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Площадь четырехугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В равнобедренном треугольнике ABC с тупым углом A, равным $ \alpha$, проведены высоты BN и CM. Найдите отношение площади четырёхугольника BMNC к площади треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение


Задача 54554

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла.
По какой траектории движется середина этого отрезка?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 1358]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .