ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Треугольники >> Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников. >> Теорема синусов
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 3 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла. Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ и противолежащими им двугранными углами A, B, C. Для него справедлива теорема синусов (8.7 ) и две теоремы косинусов (8.6 ), (8.8) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства

cos$\displaystyle \alpha$ = cos$\displaystyle \beta$cos$\displaystyle \gamma$ + sin$\displaystyle \beta$sin$\displaystyle \gamma$cos A,
cos$\displaystyle \beta$ = cos$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \gamma$ + sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \gamma$cos B,
cos$\displaystyle \gamma$ = cos$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \beta$ + sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \beta$cos C,
(8.6)

и, кроме того, величины $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ и A, B, C заключены между 0 и $ \pi$. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{\sin A}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin B}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin C}{\sin \gamma}}$. (8.7)


Вниз   Решение

Автор: Фольклор

В квадрате ABCD точки K и M принадлежат сторонам BC и CD соответственно, причём AM – биссектриса угла KAD.
Докажите, что  AK = DM + BK.

ВверхВниз   Решение

Площадь треугольника ABC равна S, $ \angle$BAC = $ \alpha$, $ \angle$BCA = $ \gamma$. Найдите AB.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 532]      

  с решениями  

Задача 54719

Тема:   [ Теорема синусов ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9

В треугольнике ABC известно, что $ \angle$A = $ \alpha$, $ \angle$C = $ \beta$, AB = a; AD - биссектриса. Найдите BD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 54911

Темы:   [ Теорема синусов ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9

Диагональ параллелограмма делит его угол на части в 30o и 45o. Найдите отношение сторон параллелограмма.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55345

Темы:   [ Теорема синусов ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Площадь треугольника ABC равна S, $ \angle$BAC = $ \alpha$, $ \angle$BCA = $ \gamma$. Найдите AB.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52827

Темы:   [ Теорема синусов ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

В параллелограмме ABCD острый угол равен α . Окружность радиуса r проходит через вершины A , B , C и пересекает прямые AD и CD в точках M и N . Найдите площадь треугольника BMN .
Прислать комментарий     Решение

Задача 53638

Темы:   [ Теорема синусов ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что если стороны a, b и противолежащие им углы α и β треугольника связаны соотношением  a/cos α = b/cos β,  то треугольник – равнобедренный.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 532]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам