ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Выпуклые и невыпуклые фигуры >> Сумма Минковского
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Какое из двух чисел больше:

  а)     (100 двоек) или     (99 троек);

  б)     (100 троек) или     (99 четвёрок).

Вниз   Решение

Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O. В треугольнике AOB проведены высоты AA1 и BB1, а в треугольнике COD — высоты CC1 и DD1. Докажите, что точки  A1, B1, C1 и D1 лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение

Автор: Косухин О.Н.

Миша мысленно расположил внутри данного круга единичного радиуса выпуклый многоугольник, содержащий центр круга, а Коля пытается угадать его периметр. За один шаг Коля указывает Мише какую-либо прямую и узнает от него, пересекает ли она многоугольник. Имеет ли Коля возможность наверняка угадать периметр многоугольника: а) через 3 шага с точностью до 0,3; б) через 2007 шагов с точностью до 0,003?

ВверхВниз   Решение

Точки A1,..., An лежат на одной окружности, а M — их центр масс. Прямые MA1,..., MAn пересекают эту окружность в точках B1,..., Bn (отличных от A1,..., An). Докажите, что MA1 +...+ MAn$ \le$MB1 +...+ MBn.

ВверхВниз   Решение

а) Докажите, что если M1 и M2 — выпуклые многоугольники, то $ \lambda_{1}^{}$M1 + $ \lambda_{2}^{}$M2 — выпуклый многоугольник, число сторон которого не превосходит суммы чисел сторон многоугольников M1 и M2.
б) Пусть P1 и P2 — периметры многоугольников M1 и M2. Докажите, что периметр многоугольника $ \lambda_{1}^{}$M1 + $ \lambda_{2}^{}$M2 равен $ \lambda_{1}^{}$P1 + $ \lambda_{2}^{}$P2.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

  с решениями  

Задача 58135

Тема:   [ Сумма Минковского ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Пусть A и B — фиксированные точки, $ \lambda$ и $ \mu$ — фиксированные числа. Выберем произвольную точку X и зададим точку P равенством $ \overrightarrow{XP}$ = $ \lambda$$ \overrightarrow{XA}$ + $ \mu$$ \overrightarrow{XB}$. Докажите, что положение точки P не зависит от выбора точки X тогда и только тогда, когда $ \lambda$ + $ \mu$ = 1. Докажите также, что в этом случае точка P лежит на прямой AB.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58136

Тема:   [ Сумма Минковского ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Докажите, что если M1 и M2 — выпуклые многоугольники, то $ \lambda_{1}^{}$M1 + $ \lambda_{2}^{}$M2 — выпуклый многоугольник, число сторон которого не превосходит суммы чисел сторон многоугольников M1 и M2.
б) Пусть P1 и P2 — периметры многоугольников M1 и M2. Докажите, что периметр многоугольника $ \lambda_{1}^{}$M1 + $ \lambda_{2}^{}$M2 равен $ \lambda_{1}^{}$P1 + $ \lambda_{2}^{}$P2.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58140

Темы:   [ Сумма Минковского ]
[ Свойства симметрии и центра симметрии ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

Докажите, что выпуклый многоугольник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда его можно представить в виде суммы нескольких отрезков.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58137

Тема:   [ Сумма Минковского ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Пусть S1 и S2 — площади многоугольников M1 и M2. Докажите, что площадь S($ \lambda_{1}^{}$,$ \lambda_{2}^{}$) многоугольника $ \lambda_{1}^{}$M1 + $ \lambda_{2}^{}$M2 равна

$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$S1 + 2$\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \lambda_{2}^{}$S12 + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$S2,

где S12 зависит только от M1 и M2.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58138

Темы:   [ Сумма Минковского ]
[ Неравенства с площадями ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

Докажите, что S12$ \ge$$ \sqrt{S_1S_2}$, т.е. $ \sqrt{S(\lambda_1,\lambda_2)}$$ \ge$$ \lambda_{1}^{}$$ \sqrt{S_1}$ + $ \lambda_{2}^{}$$ \sqrt{S_2}$ (Брунн).
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам