ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при поддержке
ЦПМ
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Выпуклые и невыпуклые фигуры >> Сумма Минковского
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи 

Задача "Поедание плоского сыра"
Есть кусок сыра в виде прямоугольника размера NxM.
Маленький мышонок хочет съесть весь кусок сыра. Начав в произвольной клетке,
он, поедая очередной кусочек (1х1), переходит в соседний
(только если он его еще не съел). Помогите маленькому мышонку
составить маршрут по прямоугольнику, чтобы он съел весь сыр.

Входные данные. В файле INPUT.TXT записаны числа N, M. (1<=N,M<=30)
Выходные данные. В файл OUTPUT.TXT вывести маршрут мышонка в виде
последовательности координат кусочков, которые он съедает.
Кусочки сыра имеют координаты от 1 до N по оси X,
от 1 до M по оси Y.

Пример входного файла:
2 2

Пример выходного файла:
1 1
2 1
2 2
1 2

Вниз   Решение

Пусть S1 и S2 — площади многоугольников M1 и M2. Докажите, что площадь S($ \lambda_{1}^{}$,$ \lambda_{2}^{}$) многоугольника $ \lambda_{1}^{}$M1 + $ \lambda_{2}^{}$M2 равна

$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$S1 + 2$\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \lambda_{2}^{}$S12 + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$S2,

где S12 зависит только от M1 и M2.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

  с решениями  

Задача 58135

Тема:   [ Сумма Минковского ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Пусть A и B — фиксированные точки, $ \lambda$ и $ \mu$ — фиксированные числа. Выберем произвольную точку X и зададим точку P равенством $ \overrightarrow{XP}$ = $ \lambda$$ \overrightarrow{XA}$ + $ \mu$$ \overrightarrow{XB}$. Докажите, что положение точки P не зависит от выбора точки X тогда и только тогда, когда $ \lambda$ + $ \mu$ = 1. Докажите также, что в этом случае точка P лежит на прямой AB.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58136

Тема:   [ Сумма Минковского ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Докажите, что если M1 и M2 — выпуклые многоугольники, то $ \lambda_{1}^{}$M1 + $ \lambda_{2}^{}$M2 — выпуклый многоугольник, число сторон которого не превосходит суммы чисел сторон многоугольников M1 и M2.
б) Пусть P1 и P2 — периметры многоугольников M1 и M2. Докажите, что периметр многоугольника $ \lambda_{1}^{}$M1 + $ \lambda_{2}^{}$M2 равен $ \lambda_{1}^{}$P1 + $ \lambda_{2}^{}$P2.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58140

Темы:   [ Сумма Минковского ]
[ Свойства симметрии и центра симметрии ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

Докажите, что выпуклый многоугольник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда его можно представить в виде суммы нескольких отрезков.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58137

Тема:   [ Сумма Минковского ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Пусть S1 и S2 — площади многоугольников M1 и M2. Докажите, что площадь S($ \lambda_{1}^{}$,$ \lambda_{2}^{}$) многоугольника $ \lambda_{1}^{}$M1 + $ \lambda_{2}^{}$M2 равна

$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$S1 + 2$\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \lambda_{2}^{}$S12 + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$S2,

где S12 зависит только от M1 и M2.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58138

Темы:   [ Сумма Минковского ]
[ Неравенства с площадями ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

Докажите, что S12$ \ge$$ \sqrt{S_1S_2}$, т.е. $ \sqrt{S(\lambda_1,\lambda_2)}$$ \ge$$ \lambda_{1}^{}$$ \sqrt{S_1}$ + $ \lambda_{2}^{}$$ \sqrt{S_2}$ (Брунн).
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам