Каталог по темам

Выбрано 16 задач

Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Известно, что при любом целом K ≠ 27 число a – K³ делится на 27 – K. Найти a.

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем AC₁ = AB₁, BA₁ = BC₁ и CA₁ = CB₁. Докажите, что A₁, B₁ и C₁ — точки касания вписанной окружности со сторонами.

Решение

На высоте AH треугольника ABC взята точка M. Докажите, что AB² – AC² = MB² – MC².

Решение

На сторонах AB, BC, CA правильного треугольника ABC взяты точки P, Q, R так, что AP : PB = BQ : QC = CR : RA = 2 : 1.
Докажите, что стороны треугольника PQR перпендикулярны сторонам треугольника ABC.

Решение

Известно, что при любом целом K ≠ 27 число a – K¹⁹⁶⁴ делится без остатка на 27 – K. Найти a.

Решение

Найдите наименьшее натуральное число n, для которого выполнено следующее условие: если число p – простое и n делится на p – 1, то n делится на p.

Решение

На диске хранится 2013 файлов размером 1 Мб, 2 Мб, 3 Мб, ..., 2012 Мб, 2013 Мб. Можно ли их распределить по трём папкам так, чтобы в каждой папке было одинаковое количество файлов и все три папки имели один и тот же размер (в Мб)?

Решение

Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, если у него:
а) медиана BD является высотой;
б) высота BD является биссектрисой.

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте трапецию по основаниям и диагоналям.

Решение

Дано бесконечное число углов. Докажите, что этими углами можно покрыть плоскость.

Решение

Фигура на плоскости имеет ровно две оси симметрии. Найдите угол между этими осями.

Решение

Две окружности разных радиусов касаются в точке A одной и той же прямой и расположены по разные стороны от неё. Отрезок AB -- диаметр меньшей окружности. Из точки B проведены две прямые, касающиеся большей окружности в точках M и N. Прямая, проходящая через точки M и A, пересекают меньшую окружность в точке K. Известно, что MK = $\sqrt{2 + \sqrt{3}}$ , а угол BMA равен 15^o. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезками касательной BM, BN и той дугой MN большей окружности, которая не содержит точку A.

Решение

Исследуйте последовательности на сходимость:
а) x_{n + 1} = ${\dfrac{1}{1+x_n}}$ ,    x₀ = 1;
б) x_{n + 1} = sin x_n,     x₀ = a $\in$ (0; $\pi$ );
в) x_{n + 1} = $\sqrt{a+x}$ ,    a > 0, x₀ = 0.

Решение

Для последовательности {a_n}

$\displaystyle \lim\limits_{n\to\infty}^{}$ $\displaystyle \left(\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right.$ a_{n + 1} - $\displaystyle {\dfrac{a_n}{2}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{a_{n+1}-\dfrac{a_n}{2}}\right)$ = 0.

Докажите, что $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ a_n = 0.

Решение

Докажите, что для нечётных чисел a, b и c имеет место равенство (½ (b + c), ½ (a + c), ½ (a + b)) = (a, b, c).

Решение

Задача 60499

Задача 60711

Задача 32111

Задача 64584

Задача 107789