Каталог по темам

Задачи

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 201]

Задача 60508

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Докажите, что число 2^2ⁿ – 1 имеет по крайней мере n различных простых делителей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60722

[Теорема Клемента]

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что числа p и p + 2 являются простыми числами-близнецами тогда и только тогда, когда 4((p – 1)! + 1) + p ≡ 0 (mod p² + 2p).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60740

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дано простое p и целое a, не делящееся на p. Пусть k – наименьшее натуральное число, при котором a^k ≡ 1 (mod p). Докажите, что p – 1 делится на k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60756

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и p > 3.
а) Докажите, что если разрешимо сравнение x² + x + 1 ≡ 0 (mod p), то p ≡ 1 (mod 6).
б) Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 6k + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60757

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и p > 5. Докажите, что если разрешимо сравнение x⁴ + x³ + x² + x + 1 ≡ 0 (mod p), то p ≡ 1 (mod 5).
Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 5n + 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 201]