Каталог по темам

Задачи

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 275]

Задача 73741

Темы:	[	Деление с остатком	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Уфнаровский В.А.

Дана бесконечная последовательность цифр. Докажите, что для любого натурального числа n, взаимно простого с числом 10, можно указать такую группу стоящих подряд цифр последовательности, что записываемое этими цифрами число делится на n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110105

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Средние величины	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Теория алгоритмов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Авторы: Богданов И.И., Подлипский О.К.

На отрезке [0, 2002] отмечены его концы и точка с координатой d, где d – взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если её координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?

Прислать комментарий

Решение

Задача 60601

Темы:	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть a₀ – целое, a₁, ..., a_n – натуральные числа. Определим две последовательности
P_–1 = 1, P₀ = a₀, P_k = a_kP_k–1 + P_k–2 (1 ≤ k ≤ n); Q_–1 = 0, Q₀ = 1, Q_k = a_kQ_k–1 + Q_k–2 (1 ≤ k ≤ n).
Дроби ^P_k/_{Q_k} называются подходящими дробями к числу [a₀; a₁, a₂, ..., a_n].
Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, ..., n обладают следующими свойствами:
а) ^P_k/_{Q_k} = [a₀; a₁, a₂,..., a_k];
б) P_kQ_k–1 – P_k–1Q_k = (–1)^k+1;
в) (P_k, Q_k) = 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60756

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и p > 3.
а) Докажите, что если разрешимо сравнение x² + x + 1 ≡ 0 (mod p), то p ≡ 1 (mod 6).
б) Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 6k + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60757

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и p > 5. Докажите, что если разрешимо сравнение x⁴ + x³ + x² + x + 1 ≡ 0 (mod p), то p ≡ 1 (mod 5).
Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 5n + 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 49 50 51 52 53 54 55 >> [Всего задач: 275]