Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Теория чисел. Делимость >> Признаки делимости >> Признаки делимости на 11
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 18 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть α , β , γ и δ  — градусные меры углов некоторого выпуклого четырехугольника. Всегда ли из этих четырех чисел можно выбрать три числа так, чтобы они выражали длины сторон некоторого треугольника (например, в метрах)?

Вниз   Решение

Докажите, что высота неравнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, меньше половины гипотенузы.

ВверхВниз   Решение

Дан треугольник ABC. Окружность радиуса R касается прямых AB и BC в точках A и C и пересекает медиану BD в точке L, причём  BL = 5/9 BD.
Найдите площадь треугольника.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Женодаров Р.Г., Богданов И.И.

Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, кратное на 11?

ВверхВниз   Решение

В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника.

ВверхВниз   Решение

Сумма углов n-угольника. Докажите, что произвольный n-угольник (не обязательно выпуклый) можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями. Выведите отсюда, что сумма углов в произвольном n-угольнике равна (n - 2)$ \pi$.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая высота.

ВверхВниз   Решение

Найдите сумму внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине.

ВверхВниз   Решение

Пусть a, b, c, d – различные цифры. Докажите, что  cdcdcdcd  не делится на  aabb.

ВверхВниз   Решение

Решите уравнение xx4 = 4 (x > 0).

ВверхВниз   Решение

При каких x и y число  xxyy  является квадратом натурального числа?

ВверхВниз   Решение

Пусть M — центр масс n-угольника A1...An; M1,..., Mn — центры масс (n - 1)-угольников, полученных из этого n-угольника выбрасыванием вершин A1,..., An соответственно. Докажите, что многоугольники A1...An и  M1...Mn гомотетичны.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что длину биссектрисы la можно вычислить по следующим формулам:
а)  la = $ \sqrt{4p(p-a)bc/(b+c)^2}$;
б)  la = 2bc cos($ \alpha$/2)/(b + c);
в)  la = 2R sin$ \beta$sin$ \gamma$/cos(($ \beta$ - $ \gamma$)/2);
г)  la = 4p sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2)/(sin$ \beta$ + sin$ \gamma$).

ВверхВниз   Решение

Докажите, что любой выпуклый многоугольник $ \Phi$ содержит два непересекающихся многоугольника $ \Phi_{1}^{}$ и $ \Phi_{2}^{}$, подобных $ \Phi$ с коэффициентом 1/2.

ВверхВниз   Решение

Радиус вписанной окружности треугольника равен $ {\frac{1}{3}}$. Докажите, что наибольшая высота треугольника не меньше 1.

ВверхВниз   Решение

Автор: Акопян А.В.

На плоскости дано n выпуклых попарно пересекающихся k-угольников. Каждый из них можно перевести в любой другой гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что на плоскости найдётся точка, принадлежащая хотя бы     из этих k-угольников.

ВверхВниз   Решение

В выпуклом четырёхугольнике тангенс одного из углов равен числу m. Могут ли тангенсы каждого из трёх остальных углов также равняться m?

ВверхВниз   Решение

Коля Васин выписал пример на умножение, а затем заменил все цифры буквами: одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные – разными. Получилось равенство  ab·cd = effe.  Не ошибся ли Коля?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

  с решениями  

Задача 30631

Тема:   [ Признаки делимости на 11 ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Пусть a, b, c, d – различные цифры. Докажите, что  cdcdcdcd  не делится на  aabb.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60805

Тема:   [ Признаки делимости на 11 ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Коля Васин выписал пример на умножение, а затем заменил все цифры буквами: одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные – разными. Получилось равенство  ab·cd = effe.  Не ошибся ли Коля?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60810

Темы:   [ Признаки делимости на 11 ]
[ Перебор случаев ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

При каких x и y число  xxyy  является квадратом натурального числа?

Прислать комментарий     Решение

Задача 110193

Темы:   [ Признаки делимости на 11 ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Авторы: Женодаров Р.Г., Богданов И.И.

Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, кратное на 11?

Прислать комментарий     Решение

Задача 110134

Темы:   [ Признаки делимости на 11 ]
[ Выигрышные и проигрышные позиции ]
[ Деление с остатком ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Емельянов Л.А.

Два игрока по очереди выписывают на доске в ряд слева направо произвольные цифры. Проигрывает игрок, после хода которого одна или несколько цифр, записанных подряд, образуют число, кратное 11. Кто из игроков победит при правильной игре?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 20]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .