Фильтр
Выбрано 9 задач Убрать все задачи
Через точку на стороне четырёхугольника проведена прямая, параллельная диагонали, до пересечения с соседней стороной четырёхугольника. Через полученную точку проведена прямая, параллельная другой диагонали, и т.д. Докажите, что пятая точка, полученная таким способом, совпадет с исходной.
В треугольнике ABC известно, что
B
90o.
На отрезке BC взяты точки M и N так, что лучи AN и AM
делят угол BAC на три равные части. Докажите, что
BM < MN < NC.
Можно ли нарисовать эту картинку (см. рис.), не отрывая карандаша от бумаги и проходя по каждой линии по одному разу?
С натуральным числом K производится следующая операция: оно представляется в виде произведения простых сомножителей K = p1p2...pn; затем вычисляется сумма p1 + p2 + ... + pn + 1. С полученным числом производится то же самое, и т.д.
Доказать, что образующаяся последовательность, начиная с некоторого номера, будет периодической.
Две окружности пересекаются в точках A и B. Прямая, проходящая через точку A, пересекает окружности в точках M и N, отличных от A, а параллельная ей прямая, проходящая через B, — соответственно в точках P и Q, отличных от B. Докажите, что MN = PQ.
На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?
Докажите, что никакой выпуклый многоугольник нельзя разрезать на 100 различных правильных треугольников.
Из квадрата клетчатой бумаги размером
16×16
вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно
разрезать на "уголки'' из трех клеток.
Дан мешок сахарного песка, чашечные весы и гирька в 1 г. Можно ли за 10 взвешиваний отмерить 1 кг сахара?
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 70]
Задача 105063 |
|
|
Кузнечик прыгает по отрезку [0,1]. За один прыжок он может попасть
из точки x либо в точку x/31/2, либо в точку
x/31/2+(1-(1/31/2)). На отрезке [0,1] выбрана точка a.
Докажите, что, начиная из любой точки, кузнечик может через несколько
прыжков оказаться на расстоянии меньше 1/100 от точки a.
|
|
Решение |
Задача 61320 |
|
|
Докажите, что для монотонно возрастающей функции f (x)
уравнения x = f (f (x)) и x = f (x) равносильны.
|
|
|
Решение |
Задача 35476 |
|
|
Пусть f(x) - некоторый многочлен, про который известно, что уравнение f(x)=x не имеет корней. Докажите, что тогда и уравнение f(f(x))=x не имеет корней.
|
|
|
Решение |
Задача 32891 |
|
|
На круглом столе через равные промежутки лежат пирожные. Игорь ходит вокруг стола и съедает каждое третье встреченное пирожное (каждое пирожное может быть встречено несколько раз). Когда на столе не осталось пирожных, он заметил, что последним взял пирожное, которое встретил первым, и прошёл ровно семь кругов вокруг стола. Сколько было пирожных?
|
|
|
Решение |
Задача 60895 |
|
|
Дан мешок сахарного песка, чашечные весы и гирька в 1 г. Можно ли за 10 взвешиваний отмерить 1 кг сахара?
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 70]
