Страница: << 43 44 45 46 47 48 49 >> [Всего задач: 401]
На сторонах треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1 так, что AB1 : B1C = cn : an, BC1 : C1A = an : bn и CA1 : A1B = bn : cn (a, b, c – длины сторон треугольника). Описанная окружность треугольника A1B1C1 высекает на сторонах треугольника ABC отрезки длиной ±x, ±y и ±z (знаки выбираются в соответствии с ориентацией треугольника). Докажите, что 
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Рассмотрим графики функций y = x² + px + q, которые пересекают оси координат в трёх различных точках.
Докажите, что все окружности, описанные около треугольников с вершинами в этих точках, имеют общую точку.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Внутри окружности расположен равносторонний N-угольник. Каждую его сторону продлевают в обе стороны до пересечения с окружностью, получая по два новых отрезка, расположенных вне многоугольника. Затем некоторые из 2N полученных отрезков красятся в красный цвет, а остальные – в синий цвет. Докажите, что можно раскрасить эти отрезки так, чтобы сумма длин красных отрезков равнялась сумме длин синих.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Пусть R1, R2 и R3 – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 ≤ 1/r, где r – радиус вписанной окружности этого треугольника.
На данной прямой l, проходящей через центр O данной окружности, фиксирована
точка C (расположенная внутри окружности — прим. ред.). Точки A и A'
расположены на окружности по одну сторону от l так, что углы, образованные
прямыми AC и A'C с прямой l, равны. Обозначим через B точку
пересечения прямых AA' и l. Доказать, что положение точки B не зависит
от точки A.
Страница: << 43 44 45 46 47 48 49 >> [Всего задач: 401]
Фильтр
