Фильтр
Выбрана 21 задача Убрать все задачи
При каких p и q уравнению x² + px + q = 0 удовлетворяют два различных числа 2p и p + q?
Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на
Пусть $D$ – основание внешней биссектрисы угла $B$ треугольника $ABC$, в котором $AB > BC$. Сторона $AC$ касается вписанной и вневписанной окружностей в точках $K$ и $K_1$ соответственно, точки $I$ и $I_1$ – центры этих окружностей. Прямая $BK$ пересекает $DI_1$ в точке $X$, а $BK_1$ пересекает $DI$ в точке $Y$. Докажите, что $XY \perp AC$.
Плоскость раскрашена в три цвета. Докажите, что
найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.
Если при любом положительном p все корни уравнения ax² + bx + c + p = 0 действительны и положительны, то коэффициент a равен нулю. Докажите.
После ввода в строй третьего транспортного кольца на нем запланировали установить ровно 1998 светофоров. Каждую минуту они одновременно меняют цвет по следующему правилу: Каждый светофор меняет цвет в зависимости от цвета двух соседних (справа и слева), причем 1) если два соседних светофора горели одним цветом, то светофор между ними загорается этим же цветом. 2) если два соседних светофора горели разными цветами, то светофор между ними загорается третьим цветом. В начальный момент все светофоры кроме одного были зеленые, а один - красный. Оппоненты Лужкова заявили, что через какое-то время все светофоры будут гореть желтым цветом. Правы ли они?
На клетчатой бумаге даны произвольные n клеток.
Докажите, что из них можно выбрать не менее n/4 клеток,
не имеющих общих точек.
Из конца A диаметра AC окружности опущен перпендикуляр AP на касательную, проведённую через лежащую на окружности точку B, отличную от A и C. Докажите, что AB – биссектриса угла PAC.
При каких a и b многочлен P(x) = (a + b)x5 + abx² + 1 делится на x² – 3x + 2?
Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC
перпендикулярно его медиане BD, делит эту медиану пополам.
Найдите отношение сторон AB и AC.
Дайте геометрическую интерпретацию следующих неравенств:
а) |z + w| ≤ |z| + |w|;
б) |z – w| ≥ ||z| – |w||; в) |z – 1| ≤ |arg z|, если |z| = 1.
Решить уравнение = x.
Докажите, что прямая, проходящая через точки z1 и
z2 – это геометрическое место точек z, для которых =
.
Два угла треугольника равны 10° и 70°. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины третьего угла треугольника.
Известно, что уравнение x² + 5bx + c = 0 имеет корни x1 и x2, x1 ≠ x2, а некоторое число является корнем уравнения y² + 2x1y + 2x2 = 0 и корнем уравнения z² + 2x2z + 2x1 = 0. Найти b.
На плоскости отмечено 2000 точек. Можно ли провести прямую, по каждую сторону от которой лежит 1000 точек?
На плоскости лежал куб. Его перекатили несколько раз (через рёбра) так, что куб снова оказался на исходном месте той же гранью вверх.
Могла ли при этом верхняя грань повернуться на 90° относительно своего начального положения?
Исследуйте системы уравнений:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
На каждой стороне треугольника ABC отмечены две различные точки. Известно, что это основания высот и биссектрис.
а) Пользуясь только линейкой без делений, определите, где высоты, а где биссектрисы.
б) Решите пункт а), проведя только три прямых.При каком значении a многочлен P(x) = x1000 + ax² + 9 делится на x + 1?
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 53]
Задача 60958 |
|
|
Найдите все значения параметра r, при которых уравнение (r – 4)x² – 2(r – 3)x + r = 0 имеет два корня, причём каждый из них больше –1.
|
|
Решение |
Задача 60968 |
|
|
При каком значении a многочлен P(x) = x1000 + ax² + 9 делится на x + 1?
|
|
Решение |
Задача 60976 |
|
|
При каких a и b многочлен P(x) = (a + b)x5 + abx² + 1 делится на x² – 3x + 2?
|
|
|
Решение |
Задача 76508 |
|
|
Система уравнений второго порядка
x² – y² = 0,
(x – a)² + y² = 1
имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях a число решений
системы уменьшается до трёх или до двух?
|
|
|
Решение |
Задача 77952 |
|
|
Если при любом положительном p все корни уравнения ax² + bx + c + p = 0 действительны и положительны, то коэффициент a равен нулю. Докажите.
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 53]
