Каталог по темам

Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 416]

Задача 61407

Тема:

[

Выпуклость и вогнутость

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Неравенство Иенсена. Докажите, что если функция f (x) выпукла вверх на отрезке [a;b], то для любых различных точек x₁, x₂, ..., x_n ( n $\geqslant$ 2) из [a;b] и любых положительных $\alpha_{1}^{}$ , $\alpha_{2}^{}$ , ..., $\alpha_{n}^{}$ таких, что $\alpha_{1}^{}$ + $\alpha_{2}^{}$ +...+ $\alpha_{n}^{}$ = 1, выполняется неравенство:

f ( $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ x₁ +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ x_n) > $\displaystyle \alpha_{1}^{}$ f (x₁) +...+ $\displaystyle \alpha_{n}^{}$ f (x_n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 67288

Тема:

[

Монотонность, ограниченность

]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шноль Д.Э.

Каждая из функций $f(x)$ и $g(x)$ определена на всей числовой прямой и не является строго монотонной. Может ли быть, что и их сумма, и их разность строго монотонны на всей числовой прямой?

Прислать комментарий Решение

Задача 79400

Тема:

[

Периодичность и непериодичность

]

Сложность: 3+
Классы: 11

Рассматривается функция y = f (x), определённая на всём множестве действительных чисел и удовлетворяющая для некоторого числа k ≠ 0 соотношению f (x + k)^.(1 − f (x)) = 1 + f (x). Доказать, что f (x) — периодическая функция.

Прислать комментарий Решение

Задача 61297

Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Вавилонский алгоритм вычисления $\sqrt{2}$ . Последовательность чисел {x_n} задана условиями:

x₁ = 1, x_{n + 1} = $\displaystyle {\textstyle\dfrac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right.$ x_n + $\displaystyle {\frac{2}{x_n}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{x_n+\frac{2}{x_n}}\right)$ (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Докажите, что $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ x_n = $\sqrt{2}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61298

Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

К чему будет стремиться последовательность из предыдущей задачи 9.46, если в качестве начального условия выбрать x₁ = - 1?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 416]