Каталог по темам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 112]

Задача 61300

Тема:

[

Рекуррентные соотношения (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Пусть a и k > 0 произвольные числа. Определим последовательность {a_n} равенствами

a₀ = a, a_{n + 1} = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \left(\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right.$ a_n + $\displaystyle {\frac{k}{a_n}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{a_n+\frac{k}{a_n}}\right)$ (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что при любом неотрицательном n выполняется равенство

$\displaystyle {\frac{a_n-\sqrt k}{a_n+\sqrt k}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}\right.$ $\displaystyle {\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-\sqrt k}{a+\sqrt k}}\right)^{2^n}_{}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61301

Тема:

[

Рекуррентные соотношения (прочее)

]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Зафиксируем числа a₀ и a₁. Построим последовательность {a_n} в которой

a_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{a_n+a_{n-1}}{2}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Выразите a_n через a₀, a₁ и n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61330

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть p и q — отличные от нуля действительные числа и p² - 4q > 0. Докажите, что следующие последовательности сходятся:
а) y₀ = 0, y_{n + 1} = ${\dfrac{q}{p-y_n}}$ (n $\geqslant$ 0);
б) z₀ = 0, z_{n + 1} = p - ${\dfrac{q}{z_n}}$ (n $\geqslant$ 0).
Установите связь между предельными значениями этих последовательностей y*, z^* и корнями уравнения x² - px + q = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61468

[Многочлены Фибоначчи и Люка]

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Специальные многочлены (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Вычислите несколько первых многочленов Фибоначчи и Люка (определения многочленов Фибоначчи и Люка смотри здесь). Какие значения эти многочлены принимают при x = 1? Докажите, что многочлены Люка связаны с многочлены Фибоначчи соотношениями:
а) L_n(x) = F_n–1(x) + F_n+1(x) (n ≥ 1);
б) F_n(x)(x² + 4) = L_n–1(x) + L_n+1(x) (n ≥ 1);
в) F_2n(x) = L_n(x)F_n(x) (n ≥ 0);
г) (L_n(x))² + (L_n+1(x))² = (x² + 4)F_2n+1(x) (n ≥ 0);
д) F_n+2(x) + F_n–2(x) = (x² + 2)F_n(x).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61472

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Специальные многочлены (прочее)	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Укажите явный вид коэффициентов в многочленах F_n(x) и L_n(x). Решите задачи 60581 и 60582, используя многочлены Фибоначчи.
Про многочлены Фибоначчи и Люка смотри статьи в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 112]