Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1135 1136 1137 1138 1139 1140 1141 >> [Всего задач: 21756]

Задача 61514

Темы:	[	Формальные степенные ряды	]
Темы:	[	Двоичная система счисления	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Определите коэффициент a_n в разложении

(1 + qx)(1 + qx²)(1 + qx⁴)(1 + qx⁸)(1 + qx¹⁶)...= a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ +...

Прислать комментарий

Решение

Задача 61526

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Многочлены Гаусса	]
	[	Производящие функции	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Пусть f_k,l(x) – производящая функция последовательности P_k,l(n) из задачи 61525: f_k,l(x) = P_k,l(0) + xP_k,l(1) + ... + x^klP_k,l(kl).

а) Докажите равенства: f_k,l(x) = f_k–1,l(x) + x^kf_k,l–1(x) = f_k,l–1(x) + x^lf_k–1,l(x).

б) Докажите, что функции f_k,l(x) совпадают с многочленами Гаусса g_k,l(x) (определение многочленов Гаусса смотри здесь).

Прислать комментарий

Решение

Задача 61529

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
Темы:	[	Парадоксы	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Ученик Коля Васин при помощи метода математической индукции смог доказать, что в любом табуне все лошади одной масти.
Если есть только одна лошадь, то она своей масти, так что база индукции верна. Для индуктивного перехода предположим, что есть n лошадей (с номерами от 1 до n). По индуктивному предположению лошади с номерами от 1 до n - 1 одинаковой масти. Аналогично лошади с номерами от 2 до n также имеют одинаковую масть. Но лошади с номерами от 2 до n - 1 не могут менять свою масть в зависимости от того как они сгруппированы — это лошади, а не хамелеоны. Поэтому все n лошадей должны быть одинаковой масти.
Есть ли ошибка в этом рассуждении, и если есть, то какая?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61530

Темы:	[	Обыкновенные дроби	]
Темы:	[	Тождественные преобразования	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

Иногда, вычитая дроби, можно вычитать их числители и складывать знаменатели. Например:
Для каких дробей это возможно?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61532

Тема:

[

Показательные функции и логарифмы (прочее)

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Легко проверить равенства

log $\displaystyle \left(\vphantom{16+\dfrac{16}{15}}\right.$ 16 + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{16}{15}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{16+\dfrac{16}{15}}\right)$ = log 16 + log $\displaystyle {\textstyle\dfrac{16}{15}}$ ;

log $\displaystyle \left(\vphantom{\dfrac{64}7-8}\right.$ $\displaystyle {\textstyle\dfrac{64}{7}}$ - 8 $\displaystyle \left.\vphantom{\dfrac{64}7-8}\right)$ = log $\displaystyle {\textstyle\dfrac{64}{7}}$ - log 8.

В каких еще случаях можно выносить логарифм за скобку?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1135 1136 1137 1138 1139 1140 1141 >> [Всего задач: 21756]