Каталог по темам

Выбрано 10 задач

Окружность с центром на стороне AC равнобедренного треугольника ABC ( AB=BC ) касается сторон AB и BC , а сторону AC делит на три равные части. Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 9 .

Решение

Автор: Григорьева И.

Айрат выписал подряд все числа месяца: 123456789101112... и покрасил три дня (дни рождения своих друзей), никакие два из которых не идут подряд. Оказалось, что все непокрашенные участки состоят из одинакового количества цифр. Докажите, что первое число месяца покрашено.

Решение

Обозначим корни уравнения x² + px + q = 0 через x₁, x₂. Нарисуйте на фазовой плоскости Opq множества точек M(, q), которые задаются условиями:
а) x₁ = 0, x₂ = 1; б) x₁ ≤ 0, x₂ ≥ 2; в) x₁ = x₂; г) – 1 ≤ x₁ ≤ 0, 1 ≤ x₂ ≤ 2.

Решение

Кузнечик прыгает вдоль прямой вперёд на 80 см или назад на 50 см. Может ли он менее чем за 7 прыжков удалиться от начальной точки ровно на 1 м 70 см?

Решение

Игральный кубик симметричен, но устроен необычно: на двух гранях по два очка, а на остальных четырёх – по одному. Сергей бросил кубик несколько раз, и в результате сумма всех выпавших очков оказалась 3. Найдите вероятность того, что при каком-то броске выпала грань с 2 очками.

Решение

На левую чашу весов положили два шара радиусов 3 и 5, а на правую — один шар радиуса 8. Какая из чаш перевесит? (Все шары изготовлены целиком из одного и того же материала.)

Решение

Восемь одинаковых шаров положили в коробку так, как показано на рисунке. Докажите, что центры трёх верхних шаров лежат на одной прямой.

Решение

Автор: Бакаев Е.В.

Царь пообещал награду тому, кто сможет на каменистом пустыре посадить красивый фруктовый сад. Об этом узнали два брата. Старший смог выкопать 18 ям (см. рис. слева). Больше нигде не удалось, только все лопаты сломал. Царь рассердился и посадил его в темницу. Тогда младший брат Иван предложил разместить яблони, груши и сливы в вершинах равных треугольников (см. рис. справа), а остальные ямы засыпать.

Царь ответил так:
— Хорошо, если деревьев каждого вида будет ровно по три и они будут расти в вершинах равных треугольников, выйдет красиво. Но три вида — слишком мало. Если кроме яблонь, груш и слив будут ещё и абрикосы — отпущу брата. Если добавишь пятый вид — черешню — заплачу за работу. Мне ещё миндаль нравится, но шесть треугольников ты тут не сможешь разместить.
— А если смогу?
— Тогда проси чего хочешь!
Иван задумался, не получить ли заодно и полцарства. Подумайте и вы: разместите как можно больше видов деревьев в вершинах равных треугольников. (Равенство треугольников означает равенство всех его сторон и углов, то есть точное совпадение при наложении; треугольники можно поворачивать и переворачивать. В одной яме может расти только одно дерево.)

Решение

Решите уравнение

(x² + x)² + $\displaystyle \sqrt{x^2-1}$ = 0.

Решение

Путь

В неориентированном графе требуется найти минимальный путь между
двумя вершинами.

Входные данные
Во входном файле записано сначала число N - количество вершин в графе
(1<=N<=100). Затем записана матрица смежности (0 обозначает отсутствие ребра,
1 - наличие ребра). Затем записаны номера двух вершин - начальной и конечной.

Выходные данные
В выходной файл выведите сначала L - длину пути (количество ребер, которые
нужно пройти). А затем выведите L+1 число - вершины в порядке следования
вдоль этого пути.
Если пути не существует, выведите одно число -1.

Пример входного файла
5
0 1 0 0 1
1 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
3 5

Пример выходного файла
3
3 2 1 5

Решение

Длина пути В неориентированном графе требуется найти длину минимального пути между двумя вершинами. Гарантируется, что путь существует. Входные данные Во входном файле записано сначала число N - количество вершин в графе (1<=N<=100). Затем записана матрица смежности (0 обозначает отсутствие ребра, 1 - наличие ребра). Затем записаны номера двух вершин - начальной и конечной. Выходные данные В выходной файл выведите одно число - длину пути (количество ребер, которые нужно пройти). Пример входного файла 5 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 5 Пример выходного файла 3

Длина пути - 2 (Такая же задача, как длина пути, но путь может не существовать). В неориентированном графе требуется найти длину минимального пути между двумя вершинами. Входные данные Во входном файле записано сначала число N - количество вершин в графе (1<=N<=100). Затем записана матрица смежности (0 обозначает отсутствие ребра, 1 - наличие ребра). Затем записаны номера двух вершин - начальной и конечной. Выходные данные В выходной файл выведите одно число - длину пути (количество ребер, которые нужно пройти). Если пути не существует, выведите одно число -1. Пример входного файла 5 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 4 5 Пример выходного файла -1

Путь В неориентированном графе требуется найти минимальный путь между двумя вершинами. Входные данные Во входном файле записано сначала число N - количество вершин в графе (1<=N<=100). Затем записана матрица смежности (0 обозначает отсутствие ребра, 1 - наличие ребра). Затем записаны номера двух вершин - начальной и конечной. Выходные данные В выходной файл выведите сначала L - длину пути (количество ребер, которые нужно пройти). А затем выведите L+1 число - вершины в порядке следования вдоль этого пути. Если пути не существует, выведите одно число -1. Пример входного файла 5 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 5 Пример выходного файла 3 3 2 1 5

Числа в вершинах В неориентированном графе без кратных ребер и петель расставить в вершинах числа так, чтобы если вершины соединены ребром, то числа имели общий делитель, а если нет - то нет. Входные данные. В файле INPUT.TXT записано число N (0<N<7) - количество вершин в графе. Затем записана матрица смежности. Выходные данные. В файл OUTPUT.TXT вывести N натуральных чисел из диапазона Longint, которые вы предлагаете приписать вершинам. Пример файла INPUT.TXT 3 0 1 1 1 0 0 1 0 0 Пример файла OUTPUT.TXT 6 2 3

"Компоненты связности" В неориентированном графе посчитать количество компонент связности. В графе могут быть петли и кратные ребра. Входные данные. Во входном файле INPUT.TXT записаны сначала два числа N и M, задающие соответственно количество вершин и количество ребер (1<=N<=100, 0<=M<=10000), а затем перечисляются ребра. Каждое ребро задается номерами вершин, которые оно соединяет. Выходные данные. В выходной файл OUTPUT.TXT выведите одно число - количество компонент связности. Пример входного файла 3 4 1 1 1 2 1 3 2 3 Пример выходного файла 1 Пример входного файла 5 3 1 1 1 2 2 1 Пример выходного файла 4 Пример входного файла 5 0 Пример выходного файла 5

Задача 64182

Задача 64183

Задача 64184

Задача 64185

Задача 64186