Каталог по темам

Задачи

Страница: << 68 69 70 71 72 73 74 >> [Всего задач: 370]

Задача 76552

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Из двухсот чисел: 1, 2, 3, ..., 199, 200 выбрали одно число, меньшее 16, и ещё 99 чисел.
Докажите, что среди выбранных чисел найдeтся два таких, одно из которых делится на другое.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115415

Темы:	[	Полуинварианты	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Трушин Б.

По кругу стоят 100 напёрстков. Под одним из них спрятана монетка. За один ход разрешается перевернуть четыре напёрстка и проверить, лежит ли под одним из них монетка. После этого их возвращают в исходное положение, а монетка перемещается под один из соседних с ней напёрстков. За какое наименьшее число ходов наверняка удастся обнаружить монетку?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78548

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

При дворе короля Артура собрались 2n рыцарей, причём каждый из них имеет среди присутствующих не более n – 1 врага.
Доказать, что Мерлин, советник Артура, может так рассадить рыцарей за круглым столом, что ни один из них не будет сидеть рядом со своим врагом.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64784

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Кооперативные алгоритмы	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Лакштанов Е.

Двое игроков играют в карточную игру. У них есть колода из n попарно различных карт. Про любые две карты из колоды известно, какая из них бьёт другую (при этом, если A бьёт B, а B бьёт C, то может оказаться, что C бьёт A). Колода распределена между игроками произвольным образом. На каждом ходу игроки открывают по верхней карте из своих колод, и тот, чья карта бьёт карту другого игрока, берёт обе карты и кладёт их в самый низ своей колоды в произвольном порядке по своему усмотрению. Докажите, что при любой исходной раздаче игроки могут, зная расположение карт, договориться и действовать так, чтобы один из игроков остался без карт.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65211

Темы:	[	Сферы (прочее)	]
	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Бородин П.А.

На поверхности сферической планеты расположены четыре материка, отделённые друг от друга океаном. Назовем точку океана особой, если для нее найдутся не менее трёх ближайших (находящихся от нее на равных расстояниях) точек суши, причём все на разных материках. Какое наибольшее число особых точек может быть на этой планете?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 68 69 70 71 72 73 74 >> [Всего задач: 370]