Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
В прямоугольном треугольнике длины сторон – натуральные взаимно простые числа.
Докажите, что длина гипотенузы – нечётное число, а длины катетов имеют разную чётность.
Докажите, что при простых p > 7 число p4 − 1 делится на 240.
Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треугольник правильный.
Докажите неравенство для положительных значений переменных: a³b + b³c + c³a ≥ abc(a + b + c).
Сторона квадрата ABCD равна 1 и является хордой некоторой окружности, причём остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Касательная CK, проведённая из вершины C к этой же окружности, равна 2. Найдите диаметр окружности.
Диаметры AB и CD окружности S перпендикулярны.
Хорда EA пересекает диаметр CD в точке K, хорда EC пересекает
диаметр AB в точке L. Докажите, что если CK : KD = 2 : 1,
то AL : LB = 3 : 1.
Доска 2N×2N покрыта неперекрывающимися доминошками 1×2. По доске прошла хромая ладья, побывав на каждой клетке по одному разу (каждый ход хромой ладьи – на клетку, соседнюю по стороне). Назовём ход продольным, если это переход из одной клетки доминошки на другую клетку той же доминошки. Каково
а) наибольшее;
б) наименьшее возможное число продольных ходов?
Пусть n > 2. Докажите, что между n и n! есть по крайней мере одно простое число.
Докажите, что множество простых чисел вида p = 6k + 5 бесконечно.
Существуют ли такие
а) 4 различных натуральных числа;
б) 5 различных натуральных чисел;
в) 5 различных целых чисел;
г) 6 различных целых чисел,
что сумма каждых трёх из них – простое число?
Первый член и разность арифметической прогрессии — натуральные числа. Доказать, что найдётся такой член прогрессии, в записи которого участвует цифра 9.
Найдите наименьшее простое число, которое можно представить в виде суммы пяти различных простых чисел.
Задачи Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 201]
Задача 64765 |
|
|
К натуральному числу N прибавили наибольший его делитель, меньший N, и получили степень десятки. Найдите все такие N.
|
|
Решение |
Задача 65947 |
|
|
Найдите наименьшее простое число, которое можно представить в виде суммы пяти различных простых чисел.
|
|
Решение |
Задача 65973 |
|
|
На двух карточках записаны четыре различные цифры – по одной с каждой стороны карточки. Может ли оказаться так, что всякое двузначное число, которое можно сложить из этих карточек, будет простым? (Нельзя переворачивать цифры вверх ногами, то есть делать из цифры 6 цифру 9 и наоборот.)
|
|
|
Решение |
Задача 78580 |
|
|
Найдите все простые числа вида PP + 1 (P – натуральное), содержащие не более 19 цифр.
|
|
|
Решение |
Задача 79525 |
|
|
Докажите, что при простых p > 7 число p4 − 1 делится на 240.
|
|
|
Решение |
Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 201]
