Каталог по темам

Задачи

Страница: << 43 44 45 46 47 48 49 >> [Всего задач: 326]

Задача 116419

Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Митрофанов И.В.

На съезд собрались 5000 кинолюбителей, каждый видел хотя бы один фильм. Их делят на секции двух типов: либо обсуждение фильма, который все члены секции видели, либо каждый рассказывает о виденном фильме, который больше никто в секции не видел. Докажите, что всех можно разбить ровно на 100 секций. (Секции из одного человека разрешаются: он пишет отзыв о виденном фильме.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 116422

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Полуинварианты	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Толпыго А.К.

Дано натуральное число. Разрешается расставить между цифрами числа плюсы произвольным образом и вычислить сумму (например, из числа 123456789 можно получить 12345 + 6 + 789 = 13140). С полученным числом снова разрешается выполнить подобную операцию, и так далее. Докажите, что из любого числа можно получить однозначное, выполнив не более 10 таких операций.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64718

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Бакаев Е.В.

На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: A₁, A₂, ..., A₁₀, причём их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает вдоль окружности через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках A₁, A₂, ..., A₉, а десятый сидит на дуге A₉A₁₀A₁. Можно ли утверждать, что он сидит именно в точке A₁₀?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66259

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Полуинварианты	]
	[	ГМТ - прямая или отрезок	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Протасов В.Ю.

В точке X сидит преступник, а три полицейских, находящихся в точках A, B и C, блокируют его, то есть точка X лежит внутри треугольника ABC. Новый полицейский сменяет одного из них следующим образом: он занимает точку, равноудаленную от всех трёх полицейских, после чего один из троих уходит, и оставшаяся тройка по-прежнему блокирует преступника. Так происходит каждый вечер. Может ли случиться, что через какое-то время полицейские вновь займут точки A, B и C (известно, что точка X ни разу не попала на сторону треугольника)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73656

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Для любых n вещественных чисел a₁, a₂, ..., a_n существует такое натуральное k ≤ n, что каждое из k чисел a_k, ½ (a_k + a_k–1),
⅓ (a_k + a_k–1 + a_k–2), ..., ¹/_k (a_k + a_k–1 + ... + a₂ + a₁) не превосходит среднего арифметического c чисел a₁, a₂, ..., a_n.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 43 44 45 46 47 48 49 >> [Всего задач: 326]