Версия для печати
Убрать все задачи

---

Через точку A проведена прямая, пересекающая окружность с диаметром AB в точке K, отличной от A, а окружность с центром B — в точках M и N. Докажите, что MK = KN.

   Решение

---

На доске написано несколько целых положительных чисел: a₀, a₁, a₂, ... , a_n. Пишем на другой доске следующие числа: b₀ – сколько всего чисел на первой доске, b₁ – сколько там чисел, больших единицы, b₂ – сколько чисел, больших двойки, и т.д., пока получаются положительные числа. На этом заканчиваем – нули не пишем. На третьей доске пишем числа c₀, c₁, c₂, ... , построенные по числам второй доски по тому же правилу, по которому числа b₀, b₁, b₂, ... строились по числам первой доски. Докажите, что наборы чисел на первой и третьей досках совпадают.

   Решение

---

В треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, $D$ – произвольная точка на стороне $BC$, серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ пресекает прямые $BI$ и $CI$ в точках $F$ и $E$ соответственно. Найдите геометрическое место ортоцентров треугольников $EIF$.

   Решение

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 208]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108667

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вспомогательная окружность ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

В треугольнике ABC точка M – середина стороны BC, AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты. Прямые AB и A₁B₁ пересекаются в точке X, а прямые MC₁ и AC – в точке Y. Докажите, что  XY || BC .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115955

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Диаметр, основные свойства ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность ω. Точка F – ортоцентр треугольника ABC; продолжение высоты CE пересекает ω в точке G. Докажите, что высота AD является касательной к описанной окружности треугольника GBF.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66673

Темы:   [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В треугольнике $ABC$ $I$ – центр вписанной окружности, $D$ – произвольная точка на стороне $BC$, серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ пресекает прямые $BI$ и $CI$ в точках $F$ и $E$ соответственно. Найдите геометрическое место ортоцентров треугольников $EIF$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108087

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса угла ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно. Пусть RS – средняя линия треугольника, параллельная AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что T лежит на биссектрисе угла B треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109681

Темы:   [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Биссектриса угла ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Средняя линия треугольника ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

В треугольнике ABC  (AB > BC)  проведены медиана BM и биссектриса BL. Прямая, проходящая через точку M параллельно AB, пересекает BL в точке D, а прямая, проходящая через L параллельно BC, пересекает BM в точке E. Докажите, что прямые ED и BL перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 208]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями