Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите наибольшее значение функции y = ln (x+4)5-5x на отрезке [-3,5;0] .

   Решение

---

Можно ли разрезать квадратный пирог на 9 равновеликих частей таким способом: выбрать внутри квадрата две точки и соединить каждую из них прямолинейными разрезами со всеми четырьмя вершинами квадрата? Если можно, то какие две точки нужно выбрать?

   Решение

---

Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, причём KN = 3, а угол M равен 120^o. Прямые LM и MN являются касательными к окружности, описанной около треугольника KLN. Найдите площадь треугольника KLN.

   Решение

---

Решите систему уравнений
    5732x + 2134y + 2134z = 7866,
    2134x + 5732y + 2134z = 670,
    2134x + 2134y + 5732z=11464.

   Решение

---

Рассмотрим на клетчатой плоскости такие ломаные с началом в точке (0, 0) и вершинами в целых точках, что каждое очередное звено идёт по сторонам клеток либо вверх, либо вправо. Каждой такой ломаной соответствует червяк – фигура, состоящая из клеток плоскости, имеющих хотя бы одну общую точку с этой ломаной. Докажите, что червяков, которые можно разбить на двуклеточные доминошки ровно  $n > 2$  различными способами, столько же, сколько натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$. (Червяки разные, если состоят из разных наборов клеток.)

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60887

Темы:   [ Периодические и непериодические дроби ] [ Функция Эйлера ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Пусть  (m, n) = 1.  Докажите, что сумма длин периода и предпериода десятичного представления дроби  ^m/_n  не превосходит φ(n).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78544

Темы:   [ Формула включения-исключения ] [ Функция Эйлера ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Имеется бесконечное количество карточек, на каждой из которых написано какое-то натуральное число. Известно, что для любого натурального числа n существуют ровно n карточек, на которых написаны делители этого числа. Доказать, что каждое натуральное число встречается хотя бы на одной карточке.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66758

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ] [ Функция Эйлера ] [ Индукция в геометрии ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим на клетчатой плоскости такие ломаные с началом в точке (0, 0) и вершинами в целых точках, что каждое очередное звено идёт по сторонам клеток либо вверх, либо вправо. Каждой такой ломаной соответствует червяк – фигура, состоящая из клеток плоскости, имеющих хотя бы одну общую точку с этой ломаной. Докажите, что червяков, которые можно разбить на двуклеточные доминошки ровно  $n > 2$  различными способами, столько же, сколько натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с $n$. (Червяки разные, если состоят из разных наборов клеток.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60773

Темы:   [ Обыкновенные дроби ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Функция Эйлера ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Найдите сумму всех правильных несократимых дробей со знаменателем n.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями