Версия для печати
Убрать все задачи
На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены равнобедренные подобные треугольники AB1C и AC1B внешним образом и BA1C внутренним образом. Докажите, что AB1A1C1 – параллелограмм.
Решение
Если Аня идёт в школу пешком, а обратно едет на автобусе, то всего на дорогу она тратит 1,5 ч. Если же она едет на автобусе в оба конца, то весь путь
у неё занимает 30 мин. Сколько времени потратит Аня на дорогу, если
и в школу и из школы она будет идти пешком?
Решение
Хорда AB делит окружность на две дуги, из которых меньшая
равна
130o, а большая делится хордой AC в отношении
31:15, считая от точки A. Найдите угол BAC.
Решение
Коля и Витя играют в следующую игру на бесконечной клетчатой бумаге. Начиная с
Коли, они по очереди отмечают узлы клетчатой бумаги — точки пересечения
вертикальных и горизонтальных прямых. При этом каждый из них своим ходом
должен отметить такой узел, что после этого все отмеченные узлы лежали в
вершинах выпуклого многоугольника (начиная со второго хода Коли). Тот из
играющих, кто не сможет сделать очередного хода, считается проигравшим. Кто
выигрывает при правильной игре?
Решение
Известно, что среди членов некоторой арифметической прогрессии a1, a2, a3, a4, ... есть числа 
Докажите,что эта прогрессия состоит из целых чисел.
Решение
На стороне CD ромба ABCD нашлась такая точка K, что AD = BK. Пусть F – точка пересечения диагонали BD и серединного перпендикуляра к стороне BC. Докажите, что точки A, F и K лежат на одной прямой.
Решение
Сфера радиуса
касается плоскостей всех боковых граней
некоторой пирамиды в точках, лежащих на сторонах основания. Найдите
высоту пирамиды, если её основанием служит треугольник со сторонами
5, 6 и 9.
Решение
В треугольнике ABC точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA и AB соответственно. Известно, что ∠AC'B' = ∠B'A'C, ∠CB'A' = ∠A'C'B,
∠BA'C' = ∠C'B'A. Докажите, что точки A', B', C' – середины сторон треугольника ABC.
Решение
Внутри квадрата со стороной 1 расположены несколько кругов, сумма радиусов которых равна 0,51. Доказать, что найдется прямая, которая параллельна одной из сторон квадрата и пересекает, по крайней мере, 2 круга.
Решение
Можно ли раскрасить все натуральные числа, большие 1, в три цвета (каждое число – в один цвет, все три цвета должны использоваться) так, чтобы цвет произведения любых двух чисел разного цвета отличался от цвета каждого из сомножителей?
Решение
Фильтр
