ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Математический анализ >> Числовые последовательности >> Ограниченность, монотонность
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Для игры «Отравленный пирог» используется прямоугольный пирог, разделенный на M «строк» горизонтальными разрезами и на N «столбцов» – вертикальными. Таким образом, пирог должен быть разбит на M × N клеток, правая нижняя из которых «отравлена». Играют двое игроков, ходы делаются по очереди. Каждый ход заключается в том, что игрок выбирает одну из еще не съеденных клеток пирога и съедает все клетки, расположенные левее и выше выбранной (в том числе и выбранную). Проигрывает тот, кто съедает отравленную клетку.

Требуется написать программу, которая по заданной игровой позиции определяет все возможные выигрышные ходы для начинающего в этой позиции. 

Входные данные
Данные во входном файле расположены в следующем порядке: M, N (1 ≤ M, N ≤ 9), X1, ..., XM. Здесь Xi – число оставшихся клеток в i-м снизу горизонтальном ряду. Все числа во входном файле разделяются пробелами и/или символами перевода строки.

Выходные данные
В первую строку выходного файла необходимо вывести количество различных выигрышных ходов К, а в последующие K строк – сами выигрышные ходы.

Каждый ход задается парой чисел (i, j), где i – номер (снизу) горизонтального ряда, а j – номер (справа) вертикального ряда, которому принадлежит выбранная клетка (1 ≤ i ≤ M, 1 ≤ j ≤ N).

Пример входного файла
3 5
5 4 3

Пример выходного файла
1
3 1

Вниз   Решение

а) В группе из четырёх человек, говорящих на разных языках, любые трое могут общаться (возможно, один переводит двум другим).
Доказать, что их можно разбить на пары, в каждой из которых имеется общий язык.
б) То же для группы из 100 человек.
в) То же для группы из 102 человек.

ВверхВниз   Решение

На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?

ВверхВниз   Решение

Найдите ближайшее целое число к числу x, если  x = .

ВверхВниз   Решение

Двадцать рыцарей надели двадцать плащей, и каждому плащ оказался короток. Тогда рыцари, сняв плащи, выстроились по росту. Самый высокий рыцарь взял себе самый длинный плащ, второй взял себе самый длинный плащ из оставшихся и т.д. Рыцарь самого маленького роста взял себе самый короткий плащ. Докажите, что и в этом случае каждому рыцарю плащ окажется короток.

ВверхВниз   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум углам A, B и периметру P.

ВверхВниз   Решение

Автор: Гарманова Т.А.

Дана строго возрастающая функция $f\colon \mathbb{N}_0\to \mathbb{N}_0$ (где $\mathbb{N}_0$ — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению $f(n+f(m))=f(n)+m+1$ для любых $m,n\in \mathbb{N}_0$. Найдите все значения, которые может принимать $f(2023)$.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

  с решениями  

Задача 61306

Темы:   [ Ограниченность, монотонность ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Последовательность чисел {an} задана условиями

a1 = 1,        an + 1 = an + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$    (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Верно ли, что эта последовательность ограничена?

Прислать комментарий     Решение

Задача 66111

Темы:   [ Ограниченность, монотонность ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Толпыго А.К.

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a1 – сумма исходных чисел, a2 – сумма квадратов исходных чисел, a3 – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
  а) Могло ли случиться, что до a5 последовательность убывает  (a1 > a2 > a3 > a4 > a5),  а начиная с a5 – возрастает  (a5 < a6 < a7 < ...)?
  б) А могло ли случиться наоборот: до a5 последовательность возрастает, а начиная с a5 – убывает?

Прислать комментарий     Решение

Задача 78589

Тема:   [ Ограниченность, монотонность ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

При каком значении K величина Ak = $ {\dfrac{19^k+66^k}{k!}}$ максимальна?
Прислать комментарий     Решение

Задача 61319

Темы:   [ Ограниченность, монотонность ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Последовательность чисел {xn} задана условиями:

x1 $\displaystyle \geqslant$ - a,        xn + 1 = $\displaystyle \sqrt{a+x_n}$.

Докажите, что последовательность {xn} монотонна и ограничена. Найдите ее предел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 67201

Тема:   [ Ограниченность, монотонность ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Гарманова Т.А.

Дана строго возрастающая функция $f\colon \mathbb{N}_0\to \mathbb{N}_0$ (где $\mathbb{N}_0$ — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению $f(n+f(m))=f(n)+m+1$ для любых $m,n\in \mathbb{N}_0$. Найдите все значения, которые может принимать $f(2023)$.
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам